Em um pronto atendimento, a quantidade de pacientes que chega na unidade a cada hora segue uma distribuição de Poisson com média de 4 pacientes por hora. Um médico já está há 25 minutos sem atender ninguém. Qual é a probabilidade de que ele ainda tenha que esperar mais 35 minutos até a chegada do próximo paciente?
(A) 0,864
(B) 0,903
(C) 0,018
(D) 0,097
(E) 0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A chegada de pacientes segue uma distribuição de Poisson com média de 4 pacientes por hora.
  • Um médico já está há 25 minutos sem atender ninguém.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que ele ainda tenha que esperar mais 35 minutos até a chegada do próximo paciente?
  • Opções de resposta: (A) 0,864, (B) 0,903, (C) 0,018, (D) 0,097, (E) 0.

Passo 2

Qual método usar? Para processos de chegada descritos por Poisson, as distâncias de tempo entre chegadas (os tempos interarrival) seguem a distribuição exponencial com parâmetro \lambda igual à taxa de chegadas. Aqui a taxa é \lambda=4 por hora. Uma propriedade crucial dessa distribuição é a memória (ou independência de incrementos do processo de Poisson): o fato de já ter passado tempo sem chegadas não altera a distribuição do tempo adicional até a próxima chegada. Logo o problema reduz-se a calcular a probabilidade de não haver chegadas nos próximos 35 minutos.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo.
  • Se T é o tempo até a próxima chegada e T é exponencial com parâmetro \lambda, a função sobrevivência (probabilidade de esperar mais que t) é
P(T>t)=e^{-\lambda t}.
Aqui:
  • \lambda é a taxa média de chegadas por unidade de tempo (aqui por hora), então \lambda=4.
  • t é o tempo que queremos que não ocorra chegada (em horas).
    Conversão de unidades:
  • 35 minutos correspondem a 35/60 horas. Vamos simplificar essa fração:
\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\\ \text{horas}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \lambda=4 e t=\dfrac{7}{12}:
P(\text{nenhuma chegada nos próximos }35\text{ min})=e^{-\lambda t}=e^{-4\cdot \tfrac{7}{12}}.ó
Calcule o expoente:
-4\cdot \tfrac{7}{12}=-\tfrac{28}{12}=-\tfrac{7}{3}.
Portanto
P=e^{-\tfrac{7}{3}}.

Passo 5

Agora uma aproximação decimal para comparar com as alternativas. Conhecendo e^{-2{,}333\ldots}:
e^{-\tfrac{7}{3}}\approx 0{,}09697\approx 0{,}097.

Passo 6

Comentário adicional (confirmação pela definição de Poisson): a probabilidade de zero chegadas em um intervalo de duração t quando a taxa é \lambda é
P(N(t)=0)=e^{-\lambda t},
com \lambda t=\dfrac{7}{3}, que dá o mesmo resultado e^{-7/3}. A independência de intervalos garante que o fato de já ter esperado 25 minutos não altera essa probabilidade para os próximos 35 minutos.

Resposta

D) 0,097

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