Em um pronto atendimento, a quantidade de pacientes que chega na unidade a cada hora segue uma distribuição de Poisson com média de 4 pacientes por hora. Um médico já está há 25 minutos sem atender ninguém. Qual é a probabilidade de que ele ainda tenha que esperar mais 35 minutos até a chegada do próximo paciente?
(A) 0,864
(B) 0,903
(C) 0,018
(D) 0,097
(E) 0
(A) 0,864
(B) 0,903
(C) 0,018
(D) 0,097
(E) 0
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A chegada de pacientes segue uma distribuição de Poisson com média de
pacientes por hora. - Um médico já está há
minutos sem atender ninguém. - Pergunta: qual a probabilidade de que ele ainda tenha que esperar mais
minutos até a chegada do próximo paciente? - Opções de resposta: (A)
, (B) , (C) , (D) , (E) .
Passo 2
Qual método usar? Para processos de chegada descritos por Poisson, as distâncias de tempo entre chegadas (os tempos interarrival) seguem a distribuição exponencial com parâmetro
igual à taxa de chegadas. Aqui a taxa é
por hora. Uma propriedade crucial dessa distribuição é a memória (ou independência de incrementos do processo de Poisson): o fato de já ter passado tempo sem chegadas não altera a distribuição do tempo adicional até a próxima chegada. Logo o problema reduz-se a calcular a probabilidade de não haver chegadas nos próximos
minutos.
Passo 3
Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo.
- Se
é o tempo até a próxima chegada e é exponencial com parâmetro , a função sobrevivência (probabilidade de esperar mais que ) é
Aqui:
-
é a taxa média de chegadas por unidade de tempo (aqui por hora), então . -
é o tempo que queremos que não ocorra chegada (em horas).
Conversão de unidades: -
minutos correspondem a horas. Vamos simplificar essa fração:
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Calcule o expoente:
Portanto
Passo 5
Agora uma aproximação decimal para comparar com as alternativas. Conhecendo
:
Passo 6
Comentário adicional (confirmação pela definição de Poisson): a probabilidade de zero chegadas em um intervalo de duração
quando a taxa é
é
com
, que dá o mesmo resultado
. A independência de intervalos garante que o fato de já ter esperado
minutos não altera essa probabilidade para os próximos
minutos.
Resposta
D)