Numa linha de produção de uma fábrica, esferas de bronze de 2 in de diâmetro (
, e
) inicialmente a
são mergulhadas num banho com água a
por 2 minutos a uma taxa de 80 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção é 42
determine (a) a temperatura das esferas após o banho e (b) a taxa na qual o calor deve ser removido da água para manter a temperatura do banho em
.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (vou listar tudo com calma para não nos perder):\n
- Esferas de bronze com diâmetro
inicialmente a .\n - Banho de água a
, tempo de imersão minutos.\n - Taxa de entrada das esferas:
esferas por minuto.\n - Coeficiente de convecção
.\n - Propriedades do bronze: condutividade térmica
, densidade , calor específico .\n
O que o problema pede:\n
(a) A temperatura das esferas após o banho deminutos; \n
(b) A taxa de calor que deve ser removida da água (em regime estacionário) para manter o banho a.
Passo 2
Conversões e propriedades geométricas da esfera (fazendo devagar para você poder reproduzir na prova):\n
- Converter o diâmetro para pés:
.\n - Raio da esfera:
.\n - Volume da esfera (fórmula):
\n
Calcule
. Então
\n
- Área de superfície da esfera:
\n - Massa da esfera:
Passo 3
Verificar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped-capacitance). Isso exige que o número de Biot seja pequeno:
onde
(comprimento característico). Para esfera
. Logo
\n
Substituindo:
,
,
:
\n
Regra prática: se
, o modelo lumped é válido. Aqui
, portanto podemos assumir temperatura uniforme na esfera durante o aquecimento.
Passo 4
Equação do modelo lumped-capacitance (explicando cada termo):\n
- A solução para uma partícula com temperatura inicial
imersa num fluido a temperatura constante é \n
Aqui:
é a temperatura da esfera no tempo
,
é a temperatura do banho (
),
é o coeficiente de convecção,
é área da esfera,
é a massa,
o calor específico. \n
Para uma esfera podemos simplificar
, então o coeficiente exponencial fica
Passo 5
Calcular a temperatura após
minutos (converter para horas porque
está em
):\n
- Tempo em horas:
\n - Calcular o coeficiente exponencial
: \n
Calcule passo a passo:
.
Então
\n
- Expoente:
\n - Fator exponencial:
\n - Temperatura final:
\n
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal):
Passo 6
Calcular a taxa de calor removida da água (energia por unidade de tempo) em regime permanente:\n
- Primeiro, calor absorvido por uma esfera durante o banho:
\n
Usando
,
, e
:
\n
- Taxa de esferas:
esferas por minuto esferas por hora.\n - Taxa de calor total (energia por hora) a ser removida da água:
\n
Arredondando:
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)