Numa linha de produção de uma fábrica, esferas de bronze de 2 in de diâmetro (
\mathrm{k}=64.1 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{ft} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F}, \rho=532 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3} , e
\mathrm{C}_{\mathrm{p}}=0.092 \mathrm{Btu} / \mathrm{lbm} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F} ) inicialmente a 85^{\circ} \mathrm{F} são mergulhadas num banho com água a
120^{\circ} \mathrm{F} por 2 minutos a uma taxa de 80 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção é 42
\mathrm{Btu} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{ft}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F} determine (a) a temperatura das esferas após o banho e (b) a taxa na qual o calor deve ser removido da água para manter a temperatura do banho em
120^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (vou listar tudo com calma para não nos perder):\n
  • Esferas de bronze com diâmetro 2\\ \mathrm{in} inicialmente a 85^\circ\mathrm{F}.\n
  • Banho de água a 120^\circ\mathrm{F}, tempo de imersão 2 minutos.\n
  • Taxa de entrada das esferas: 80 esferas por minuto.\n
  • Coeficiente de convecção h = 42\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}).\n
  • Propriedades do bronze: condutividade térmica k = 64{,}1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}), densidade \rho = 532\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3, calor específico C_p = 0{,}092\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{}^\circ\mathrm{F}).\n
    O que o problema pede:\n
    (a) A temperatura das esferas após o banho de 2 minutos; \n
    (b) A taxa de calor que deve ser removida da água (em regime estacionário) para manter o banho a 120^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

Conversões e propriedades geométricas da esfera (fazendo devagar para você poder reproduzir na prova):\n
  • Converter o diâmetro para pés: 2\\ \mathrm{in} = \dfrac{2}{12}\\ \mathrm{ft} = \dfrac{1}{6}\\ \mathrm{ft}.\n
  • Raio da esfera: r = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}\\ \mathrm{ft} = \dfrac{1}{12}\\ \mathrm{ft} \approx 0{,}08333\\ \mathrm{ft}.\n
  • Volume da esfera (fórmula): V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.\n
Calcule r^{3} = \left(\dfrac{1}{12}\right)^{3} = \dfrac{1}{1728}\approx0{,}0005787037\\ \mathrm{ft}^{3}. Então V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{12}\right)^{3}\approx4{,}18879\times0{,}0005787037\approx0{,}002423\\ \mathrm{ft}^{3}.\n
  • Área de superfície da esfera: A = 4\pi r^{2} = 4\pi\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=4\pi\cdot\frac{1}{144}\approx0{,}08727\\ \mathrm{ft}^{2}.\n
  • Massa da esfera: m=\rho V = 532\cdot0{,}002423\approx1{,}2888\\ \mathrm{lbm}.

Passo 3

Verificar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped-capacitance). Isso exige que o número de Biot seja pequeno: \mathrm{Bi}=\frac{hL_{c}}{k},
onde L_{c}=V/A (comprimento característico). Para esfera L_{c}=\dfrac{r}{3}. Logo \mathrm{Bi}=\frac{h(r/3)}{k}=\frac{h\,r}{3k}.\n
Substituindo: r=\dfrac{1}{12}\\ \mathrm{ft}, h=42, k=64{,}1: \mathrm{Bi}=\frac{42\cdot\frac{1}{12}}{3\cdot64{,}1}=\frac{42}{36\cdot64{,}1}\approx0{,}018.\n
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1, o modelo lumped é válido. Aqui \mathrm{Bi}\approx0{,}018\ll0{,}1, portanto podemos assumir temperatura uniforme na esfera durante o aquecimento.

Passo 4

Equação do modelo lumped-capacitance (explicando cada termo):\n
  • A solução para uma partícula com temperatura inicial T_i imersa num fluido a temperatura constante T_\infty é T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_{i}-T_{\infty}\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V C_{p}}\,t\Bigr).\n
Aqui: T(t) é a temperatura da esfera no tempo t, T_{\infty} é a temperatura do banho ( 120^\circ\mathrm{F}), h é o coeficiente de convecção, A é área da esfera, \rho V é a massa, C_{p} o calor específico. \n
Para uma esfera podemos simplificar A/V=3/r, então o coeficiente exponencial fica \frac{hA}{\rho V C_{p}}=\frac{3h}{\rho r C_{p}}.

Passo 5

Calcular a temperatura após t=2 minutos (converter para horas porque h está em \mathrm{h}^{-1}):\n
  • Tempo em horas: t=2\\ \mathrm{min}=\dfrac{2}{60}\\ \mathrm{h}=0{,}033333\\ \mathrm{h}.\n
  • Calcular o coeficiente exponencial \dfrac{3h}{\rho r C_{p}}: \frac{3h}{\rho r C_{p}}=\frac{3\cdot42}{532\cdot\frac{1}{12}\cdot0{,}092}.\n
Calcule passo a passo: 3h=126. \rho r C_{p}=532\cdot\frac{1}{12}\cdot0{,}092 \approx 532\cdot0{,}083333\cdot0{,}092\approx4{,}0807. Então \frac{3h}{\rho r C_{p}}\approx\frac{126}{4{,}0807}\approx30{,}882\\ \mathrm{h}^{-1}.\n
  • Expoente: -\dfrac{3h}{\rho r C_{p}}\,t \approx -30{,}882\times0{,}033333\approx-1{,}0294.\n
  • Fator exponencial: \exp(-1{,}0294)\approx0{,}3571.\n
  • Temperatura final: T(t)=120^\circ\mathrm{F}+(85^\circ\mathrm{F}-120^\circ\mathrm{F})\cdot0{,}3571 =120-35\cdot0{,}3571\approx120-12{,}495\approx107{,}505^\circ\mathrm{F}.\n
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal): T\approx107{,}5^\circ\mathrm{F}.

Passo 6

Calcular a taxa de calor removida da água (energia por unidade de tempo) em regime permanente:\n
  • Primeiro, calor absorvido por uma esfera durante o banho: Q_{\text{por esfera}}=m C_{p}\bigl(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}\bigr).\n
Usando m=\rho V\approx1{,}2888\\ \mathrm{lbm}, C_{p}=0{,}092, e \Delta T=107{,}505-85=22{,}505^\circ\mathrm{F}: Q_{\text{por esfera}}\approx1{,}2888\cdot0{,}092\cdot22{,}505\approx2{,}667\\ \mathrm{Btu}.\n
  • Taxa de esferas: 80 esferas por minuto = 80\times60=4800 esferas por hora.\n
  • Taxa de calor total (energia por hora) a ser removida da água: \dot{Q}=Q_{\text{por esfera}}\times4800\approx2{,}667\cdot4800\approx12801{,}6\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.\n
Arredondando: \dot{Q}\approx1{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.

Resposta

(a) 107{,}5^\circ\mathrm{F}\n
(b) 1{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}

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