Hidrogênio gasoso a 10 bar e
está estocado num tanque esférico de 0,4 m de diâmetro e espessura 2 mm . A concentração molar de hidrogênio no aço na superficie interna é de
e é desprezível na superficie externa. O coeficiente de difusão do hidrogênio no aço é aproximadamente
. Qual a taxa inicial de perda de hidrogênio por difusão através da parede do tanque? Qual a taxa inicial de redução da pressão dentro do tanque? (Resp.: (a)
ou
bar/s)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
Perguntas:
- Qual a taxa inicial de perda de hidrogênio por difusão através da parede do tanque (fluxo por unidade de área,
em )? - Qual a taxa inicial de redução da pressão dentro do tanque (
em )?
Passo 2
Modelo e hipótese para resolver: inicialmente (instante t=0) a concentração dentro da parede varia fortemente entre a face interna (concentração conhecida) e a externa (próxima de zero). Para o instante inicial podemos aproximar o perfil de concentração através da espessura por uma rampa linear entre
e
. Assim usamos a Lei de Fick (primeira lei) para calcular o fluxo inicial por unidade de área através da parede. Como a parede é fina (
), a aproximação plana (uma dimensão) é adequada; mais adiante mostro que a solução esférica dá praticamente o mesmo resultado.
Passo 3
Apresentando a Lei de Fick (primeira lei) e explicando as variáveis:
onde
Para uma aproximação unidimensional e gradiente aproximadamente constante:
A convenção de sinal: se
o fluxo de H sai do interior para o exterior; estou interessado na magnitude positiva do fluxo (taxa de perda).
Passo 4
Convertemos explicitamente os dados e calculamos o fluxo por unidade de área passo a passo.
Dados numéricos relevantes (já convertidos):
Aplicando a fórmula:
Calculemos em etapas:
Portanto
Breve comentário de sanidade: como a parede é muito fina, considerar plano é adequado; a conta com geometria esférica dá praticamente o mesmo resultado (poderia calcular o fluxo total e dividir pela área da superfície interna; fiz isso em rascunho e obtive o mesmo j dentro de poucos por cento).
Passo 5
Agora vamos obter a taxa total de perda molar
(mol/s) multiplicando o fluxo por unidade de área pela área interna da esfera:
Explico:
é a quantidade de mols que sai do volume de gás por segundo; é a taxa que devemos usar na equação dos gases para calcular a queda de pressão.
Passo 6
Usamos a equação dos gases ideais para relacionar variação de pressão e variação de número de mols a volume e temperatura constantes:
Como o número de mols no tanque diminui,
. Então a taxa de variação da pressão (queda) é
Calculamos o volume interno do tanque:
Agora calculemos o fator
:
Multiplicando por
:
Convertendo para
(
):
Interpretação amigável: o sinal negativo indica que a pressão está diminuindo. A magnitude é muito pequena porque, apesar da alta pressão inicial, a difusão através do aço é muito lenta (coeficiente de difusão muito pequeno).
Passo 7
Resumo dos resultados numéricos com unidades e poucas casas significativas (3 algarismos significativos, notação científica):
- Fluxo inicial por unidade de área (taxa de perda de hidrogênio por difusão):
- Taxa inicial de redução da pressão dentro do tanque: