(
pts) Determine o perfil de velocidade ve® para o escoamento tangencial entre dois cilindros coaxiais de raio
e
que giram com velocidades angulares
respectivamente. Assumir que o espaço entre os cilindros é ocupado por um fluido isotérmico, incompressivel e se movimenta em regime laminar. Considerar que
e nāo existe variação da pressão e velocidade na direção tangencial (
). Deixe claro as hipóteses simplificadoras e condições de contorno definidas.
Passo 1
O enunciado nos dá um escoamento entre dois cilindros coaxiais: o cilindro interno tem raio
, e o cilindro externo tem raio
, (onde
). O cilindro interno gira com velocidade angular
e o externo com
. O fluido entre eles é incompressível, isotérmico, laminar e em regime estacionário. Além disso foram dadas as condições:
e
(interpreto as as componentes radial e axial nulas), e não existe variação na direção
(isto é,
). O enunciado pede: determinar o perfil de velocidade tangencial
, no intervalo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Geometria: cilindros coaxiais de raios
e
.
Condições de movimento:
escoamento estacionário.
Condições de contorno (no-slip):
e
.
Não se resolve ainda nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não se resolve ainda nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Escolhendo coordenadas cilíndricas
, escrevemos a equação de momento (componente
) simplificada pelas hipóteses. Vou explicar direitinho por que termos caem: como o escoamento é estacionário e só tem componente azimutal dependente de
, os termos convectivos da componente
envolvem
e
e suas variações; mas como
e
, todos os termos advectivos desaparecem. Também assumimos ausência de gradiente de pressão na direção
. O único termo remanescente na equação de
é o viscoso. Para um fluido newtoniano esto reduz, em forma escalar, à equação ordinária
onde
é a viscosidade dinâmica do fluido. Aqui cada termo significa:
é curvatura radial do perfil,
ajusta a geometria cilíndrica, e
aparece por componente angular. Dividindo por
obtemos a equação homogênea
Esta é a equação que vamos resolver para
com as condições de contorno do Passo 1.
Passo 3
Para resolver a equação
uso uma técnica prática: escrevo a velocidade angular local
como
. Vou mostrar as contas passo a passo. Seja
. Então
Calculo as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Organizando termos cancelam-se alguns e sobra
Isto pode ser reescrito como divergência:
Integrando uma vez:
onde
é constante de integração. Assim
Integro novamente:
onde
é outra constante de integração. Voltando para
obtenho
Renomeando constantes para ficar mais usual, escrevo
com
e
. Conclusão: a solução geral é uma combinação de um termo proporcional a
(componente de rotação de corpo rígido) e um termo proporcional a
(tipo vortex potencial). Isso é importante para interpretar fisicamente o perfil.
Passo 4
Agora aplico as condições de contorno (no-slip) para determinar
e
. As condições são:
Substituindo a forma geral obtemos o sistema
Dividindo ambas as equações por
para simplificar:
Subtraindo a segunda da primeira:
Logo
Multiplicando por
obtemos
Agora uso
. Substituo o valor de
:
Faço a simplificação algébrica (colocando tudo sobre o mesmo denominador
):
Portanto as constantes são
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, o perfil de velocidade tangencial fica
Também a velocidade angular local pode ser escrita como
Breve comentário físico: o primeiro termo dá uma contribuição de rotação tipo corpo rígido e o segundo é um termo de decaimento como
associado a um giro tipo vórtice. Se
a solução reduz a rotação sólida
. Se um cilindro está parado, a solução descreve o ajuste entre rotação do outro e o fluido.