( \mathbf{2 , 5} pts) Determine o perfil de velocidade ve® para o escoamento tangencial entre dois cilindros coaxiais de raio \mathbf{R} e \mathbf{k} \mathbf{R} que giram com velocidades angulares \omega_{0} \mathrm{e} \omega_{1} respectivamente. Assumir que o espaço entre os cilindros é ocupado por um fluido isotérmico, incompressivel e se movimenta em regime laminar. Considerar que y_{x}=y_{z}=0 e nāo existe variação da pressão e velocidade na direção tangencial ( \theta ). Deixe claro as hipóteses simplificadoras e condições de contorno definidas.

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento entre dois cilindros coaxiais: o cilindro interno tem raio \,R, e o cilindro externo tem raio \,kR, (onde k>1). O cilindro interno gira com velocidade angular \,\omega_{0} e o externo com \,\omega_{1}. O fluido entre eles é incompressível, isotérmico, laminar e em regime estacionário. Além disso foram dadas as condições: \,v_{r}=0 e \,v_{z}=0 (interpreto as as componentes radial e axial nulas), e não existe variação na direção \,\theta (isto é, \partial/\partial\theta=0). O enunciado pede: determinar o perfil de velocidade tangencial \,v_{\theta}(r), no intervalo \,R\le r\le kR.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\bullet Geometria: cilindros coaxiais de raios \,R e \,kR.
\bullet Condições de movimento: \,v_{r}=0,\;v_{z}=0,\;\partial/\partial\theta=0, escoamento estacionário.
\bullet Condições de contorno (no-slip): \,v_{\theta}(R)=\omega_{0}R e \,v_{\theta}(kR)=\omega_{1}kR.
Não se resolve ainda nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Escolhendo coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), escrevemos a equação de momento (componente \theta) simplificada pelas hipóteses. Vou explicar direitinho por que termos caem: como o escoamento é estacionário e só tem componente azimutal dependente de r, os termos convectivos da componente \theta envolvem v_{r} e v_{z} e suas variações; mas como v_{r}=v_{z}=0 e \partial/\partial\theta=0, todos os termos advectivos desaparecem. Também assumimos ausência de gradiente de pressão na direção \theta. O único termo remanescente na equação de \theta é o viscoso. Para um fluido newtoniano esto reduz, em forma escalar, à equação ordinária
\mu\left(\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}\right)=0,
onde \mu é a viscosidade dinâmica do fluido. Aqui cada termo significa: \frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}} é curvatura radial do perfil, \frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr} ajusta a geometria cilíndrica, e -\frac{v_{\theta}}{r^{2}} aparece por componente angular. Dividindo por \mu obtemos a equação homogênea
\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}=0.
Esta é a equação que vamos resolver para v_{\theta}(r) com as condições de contorno do Passo 1.

Passo 3

Para resolver a equação
\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}=0,
uso uma técnica prática: escrevo a velocidade angular local \Omega(r) como \Omega(r)=\dfrac{v_{\theta}(r)}{r}. Vou mostrar as contas passo a passo. Seja w(r)=\Omega(r)=\dfrac{v_{\theta}(r)}{r}. Então
v_{\theta}(r)=r\,w(r).
Calculo as derivadas necessárias:
\frac{dv_{\theta}}{dr}=w+r\frac{dw}{dr},
\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}=2\frac{dw}{dr}+r\frac{d^{2}w}{dr^{2}}.
Substituindo na equação original:
\left(2\frac{dw}{dr}+r\frac{d^{2}w}{dr^{2}}\right)+\frac{1}{r}\left(w+r\frac{dw}{dr}\right)-\frac{r w}{r^{2}}=0.
Organizando termos cancelam-se alguns e sobra
r\frac{d^{2}w}{dr^{2}}+3\frac{dw}{dr}=0.
Isto pode ser reescrito como divergência:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{3}\frac{dw}{dr}\right)=0.
Integrando uma vez:
r^{3}\frac{dw}{dr}=A,
onde A é constante de integração. Assim
\frac{dw}{dr}=A r^{-3}.
Integro novamente:
w(r)= -\frac{A}{2r^{2}}+B,
onde B é outra constante de integração. Voltando para v_{\theta}=r w obtenho
v_{\theta}(r)=B r -\frac{A}{2}\frac{1}{r}.
Renomeando constantes para ficar mais usual, escrevo
v_{\theta}(r)=C_{1}\,r + C_{2}\,\frac{1}{r},
com C_{1}=B e C_{2}=-\dfrac{A}{2}. Conclusão: a solução geral é uma combinação de um termo proporcional a r (componente de rotação de corpo rígido) e um termo proporcional a 1/r (tipo vortex potencial). Isso é importante para interpretar fisicamente o perfil.

Passo 4

Agora aplico as condições de contorno (no-slip) para determinar C_{1} e C_{2}. As condições são:
v_{\theta}(R)=\omega_{0}R,\qquad v_{\theta}(kR)=\omega_{1}kR.
Substituindo a forma geral obtemos o sistema
C_{1}R + \frac{C_{2}}{R}=\omega_{0}R,
C_{1}kR + \frac{C_{2}}{kR}=\omega_{1}kR.
Dividindo ambas as equações por R para simplificar:
C_{1} + \frac{C_{2}}{R^{2}}=\omega_{0},
C_{1} + \frac{C_{2}}{k^{2}R^{2}}=\omega_{1}.
Subtraindo a segunda da primeira:
\frac{C_{2}}{R^{2}}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\omega_{0}-\omega_{1}.
Logo
\frac{C_{2}}{R^{2}}=\frac{\omega_{0}-\omega_{1}}{1-\dfrac{1}{k^{2}}}=\frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}}{k^{2}-1}.
Multiplicando por R^{2} obtemos
C_{2}=\frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}R^{2}}{k^{2}-1}.
Agora uso C_{1}=\omega_{0}-\dfrac{C_{2}}{R^{2}}. Substituo o valor de C_{2}/R^{2}:
C_{1}=\omega_{0}-\frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}}{k^{2}-1}.
Faço a simplificação algébrica (colocando tudo sobre o mesmo denominador k^{2}-1):
C_{1}=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1}.
Portanto as constantes são
C_{1}=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1},\qquad C_{2}=\frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}R^{2}}{k^{2}-1}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, o perfil de velocidade tangencial fica
v_{\theta}(r)=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1}\;r \;+\; \frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}R^{2}}{k^{2}-1}\;\frac{1}{r}.
Também a velocidade angular local pode ser escrita como
\Omega(r)=\frac{v_{\theta}(r)}{r}=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1}+\frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}R^{2}}{(k^{2}-1)r^{2}}.
Breve comentário físico: o primeiro termo dá uma contribuição de rotação tipo corpo rígido e o segundo é um termo de decaimento como 1/r associado a um giro tipo vórtice. Se \omega_{0}=\omega_{1} a solução reduz a rotação sólida \,v_{\theta}(r)=\omega_{0} r. Se um cilindro está parado, a solução descreve o ajuste entre rotação do outro e o fluido.

Resposta

v_{\theta}(r)=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1}\;r \;+\; \frac{(\omega_{0}-\omega_{1})\,k^{2}R^{2}}{k^{2}-1}\;\frac{1}{r}.

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