Uma linha telefônica (cabo) é esticada entre dois pontos de mesma elevação separados entre si por uma distância de 45,0 metros. A linha forma um vão de 1,5 m entre os dois pontos e o cabo tem peso de
. Determine o comprimento do cabo e a máxima força de tração nele.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma linha telefônica pendurada entre dois pontos com mesma altura, separados por 45,0 m, e que ela afunda 1,5 m no meio (essa “queda” a gente chama de flecha). O cabo pesa 4,4 N/m.
Conteúdo: a forma que um cabo uniforme faz quando só tem peso é uma catenária, cuja equação é
,
onde o parâmetro está relacionado à tensão horizontal.
O que vamos precisar:
Conteúdo: a forma que um cabo uniforme faz quando só tem peso é uma catenária, cuja equação é
onde o parâmetro
O que vamos precisar:
- usar a fórmula da flecha para achar
; - calcular o comprimento do cabo com
, em que é o vão; - tirar a tensão máxima nos suportes com
, onde .
Passo 2
Primeiro, expressamos a flecha
em função de
. No meio do vão (em
), temos
Isso dá a equação para achar
:
Passo 3
Agora a gente resolve numericamente pra
. Se o sag não é muito grande, dá pra começar estimando
.
Então
Então
Aí refinamos rapidamente (testando
) e chegamos em
Passo 4
Com
na mão, o comprimento do cabo é
Calculando
, vem
Passo 5
Por fim, a tensão máxima aparece nos suportes e é
Sabendo
e
, dá
Resposta
Comprimento do cabo:
Tensão máxima:
Tensão máxima: