Uma linha telefônica (cabo) é esticada entre dois pontos de mesma elevação separados entre si por uma distância de 45,0 metros. A linha forma um vão de 1,5 m entre os dois pontos e o cabo tem peso de 4,4 N / m. Determine o comprimento do cabo e a máxima força de tração nele.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma linha telefônica pendurada entre dois pontos com mesma altura, separados por 45,0 m, e que ela afunda 1,5 m no meio (essa “queda” a gente chama de flecha). O cabo pesa 4,4 N/m.
Conteúdo: a forma que um cabo uniforme faz quando só tem peso é uma catenária, cuja equação é
,
onde o parâmetro está relacionado à tensão horizontal.
O que vamos precisar:
  • usar a fórmula da flecha para achar ;
  • calcular o comprimento do cabo com , em que é o vão;
  • tirar a tensão máxima nos suportes com , onde .

Passo 2

Primeiro, expressamos a flecha f = acosh!l(tfrac22,5ar) - a em função de acosh!l(tfrac22,5ar) - a = 1,5 . No meio do vão (em ), temos
Isso dá a equação para achar :

Passo 3

Agora a gente resolve numericamente pra al(1+tfrac(22,5/a)^22r) - a approx (22,5)^22a = 1,5 ;;Longrightarrow;; a approx (22,5)^22cdot1,5 approx 168,75,m . Se o sag não é muito grande, dá pra começar estimando
a approx 169,0;m .
Então
Aí refinamos rapidamente (testando ) e chegamos em

Passo 4

Com L = 2,a,sinh!l(22,5ar) na mão, o comprimento do cabo é
L approx 2 times 169,0 times 0,13353 approx 45,15;m
Calculando , vem

Passo 5

Por fim, a tensão máxima aparece nos suportes e é
Tmax = w,a,cosh!l(tfrac22,5ar)
Sabendo Tmax approx 4,4 times 169,0 times 1,00887 approx 750;N e , dá

Resposta

Comprimento do cabo:
Tensão máxima:

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