O cabo de uma linha de transmissão suspenso em dois pontos no mesmo nível, deve vencer um vão de 80 m , com um comprimento total de 110 m , tendo uma carga distribuída de
segundo seu comprimento. Calcular sua flecha e o valor do esforço normal máximo atuante.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: temos um cabo pendurado entre dois postes no mesmo nível, com vão horizontal de 80 m, o comprimento real do cabo medido ao longo dele é 110 m, e o peso é distribuído uniformemente ao longo do comprimento em 0,05 kN/m. Precisamos calcular a flecha (o “barrigão” do cabo) e a força normal máxima (tensão máxima) que aparece.
Conteúdo: catenária. Vamos precisar da equação que relaciona o comprimento real L, o vão 2x₀ e o parâmetro a = H/w, onde H é a tensão horizontal e w é o peso por metro de cabo.
Conteúdo: catenária. Vamos precisar da equação que relaciona o comprimento real L, o vão 2x₀ e o parâmetro a = H/w, onde H é a tensão horizontal e w é o peso por metro de cabo.
Passo 2
Teoria da catenária
- Quando um cabo suporta seu próprio peso distribuído por metro de comprimento (w), sua forma é dada pela função catenária
onde o ponto mais baixo é em x=0, y(0)=0, e a = H/w (H é a componente horizontal da tensão).
2) O comprimento do cabo entre –x₀ e +x₀ (metade do vão é x₀) é
2) O comprimento do cabo entre –x₀ e +x₀ (metade do vão é x₀) é
- A flecha máxima f é o valor de y em x = x₀:
- A tensão horizontal H = a,w. A tensão total no suporte (tensão máxima) é
Passo 3
Identificando os valores
- Vão total = 80 m ⇒ metade do vão x₀ = 40 m.
- Comprimento do cabo L = 110 m.
- Peso por comprimento w = 0,05 kN/m.
Queremos achar a tal de a que satisfaz
Isso não resolve algebricamente, então vamos achar a numericamente por tentativa/erro (ou calculadora).
Passo 4
Resolvendo para a
Testando valores de a até achar
Testando valores de a até achar
Fazendo algumas tentativas, chega-se em torno de
Agora calculamos a flecha f:
Passo 5
Tensões
- Tensão horizontal
- Tensão máxima no suporte
Resposta
Flecha f ≈ 34,1 m
Tensão normal máxima Tₘₐₓ ≈ 3,10 kN
Tensão normal máxima Tₘₐₓ ≈ 3,10 kN