O cabo de uma linha de transmissão suspenso em dois pontos no mesmo nível, deve vencer um vão de 80 m , com um comprimento total de 110 m , tendo uma carga distribuída de 0,05 kN / m segundo seu comprimento. Calcular sua flecha e o valor do esforço normal máximo atuante.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos um cabo pendurado entre dois postes no mesmo nível, com vão horizontal de 80 m, o comprimento real do cabo medido ao longo dele é 110 m, e o peso é distribuído uniformemente ao longo do comprimento em 0,05 kN/m. Precisamos calcular a flecha (o “barrigão” do cabo) e a força normal máxima (tensão máxima) que aparece.
Conteúdo: catenária. Vamos precisar da equação que relaciona o comprimento real L, o vão 2x₀ e o parâmetro a = H/w, onde H é a tensão horizontal e w é o peso por metro de cabo.

Passo 2

Teoria da catenária
  1. Quando um cabo suporta seu próprio peso distribuído por metro de comprimento (w), sua forma é dada pela função catenária
y(x) = acosh!l(tfracxar) - a
onde o ponto mais baixo é em x=0, y(0)=0, e a = H/w (H é a componente horizontal da tensão).
2) O comprimento do cabo entre –x₀ e +x₀ (metade do vão é x₀) é
L = 2,a,sinh!l(tfracx0ar)
  1. A flecha máxima f é o valor de y em x = x₀:
f = y(x0) = al[cosh!l(tfracx0ar) -1r]
  1. A tensão horizontal H = a,w. A tensão total no suporte (tensão máxima) é
Tmax = Hcosh!l(tfracx0ar)

Passo 3

Identificando os valores
  • Vão total = 80 m ⇒ metade do vão x₀ = 40 m.
  • Comprimento do cabo L = 110 m.
  • Peso por comprimento w = 0,05 kN/m.
    Queremos achar a tal de a que satisfaz
110 = 2,a,sinh!l(tfrac40ar)
Isso não resolve algebricamente, então vamos achar a numericamente por tentativa/erro (ou calculadora).

Passo 4

Resolvendo para a
Testando valores de a até achar
2,a,sinh!l(tfrac40ar) approx 110
Fazendo algumas tentativas, chega-se em torno de
a approx 27,8;m
Agora calculamos a flecha f:
f = al[cosh!l(tfrac40ar)-1r] = 27,8l[cosh(1,44)-1r] approx 27,8,(2,229-1) approx 34,1;m

Passo 5

Tensões
  1. Tensão horizontal
H = a,w = 27,8cdot0,05 approx 1,39;kN
  1. Tensão máxima no suporte
Tmax = Hcosh!l(tfrac40ar) = 1,39cdot2,229 approx 3,10;kN

Resposta

Flecha f ≈ 34,1 m
Tensão normal máxima Tₘₐₓ ≈ 3,10 kN

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