Um cabo deve suportar uma carga uniformemente distribuída de 10 kN / m segundo o seu vão, que é de 80 m , existindo um desnível de 10 m entre os pontos de suspensão. Sabendo-se que o esforço normal máximo admissível que o cabo pode suportar vale 1.000 kN , pede-se determinar seu comprimento total.

Passo 1

Beleza, vou resumir o que o exercício pede e dizer o que vamos usar.
Enunciado em miúdos: temos um cabo que, no vão horizontal de 80 m, recebe uma carga vertical uniforme de . Há um desnível vertical de 10 m entre os apoios. O cabo só pode atingir até 1000 kN de esforço normal máximo (que, em cabos, ocorre na parte mais tensa, isto é, no ponto de maior componente de tração). Pergunta: qual é o comprimento total do cabo?
Conteúdo: teoria da catenária (forma do cabo sob carga uniformemente distribuída), tensão horizontal , parâmetro , equação e comprimento de arco. Vamos usar:
  1. .
  2. Ajustar para que .
  3. Encontrar constantes e aplicando as condições de contorno e .
  4. Computar o comprimento .

Passo 2

Primeiro, a tensão horizontal H ;=; a,q (que é a menor componente na parte mais “frouxa”) é dada por
a ;=;Hmaxq;=;100010;=;100 m
Como o máximo admissível é e , escolhemos exatamente o limite:

Passo 3

Agora a equação geral da catenária é
y(x);=;acosh!l(tfracx-Car);+;D
com duas constantes 0 = acosh!l(tfrac-Car)+D Longrightarrow D = -,a,cosh!l(tfracCar) . Para determinar 10 = acosh!l(tfrac80-Car) ;-;acosh!l(tfracCar) , impomos
  1. coshl(0.8 - ur) - cosh(u) ;=;10100 = 0.1 ,
  2. u approx 0.2789 Longrightarrow C = 100,u approx 27.89 m .
Aplicando em D = -,100,cosh(0.2789)approx -103.917 :
Em seguida, :
Substituindo e chamando
, fica
Resolvendo numericamente esse , obtemos
E daí

Passo 4

Falta só o comprimento do cabo. Em catenária,
y'(x) = sinh!l(tfracx-Car),
e o comprimento de arco de s = integral0^80!raiz1 + l[y'(x)r]^2;dx = integral0^80!cosh!l(tfracx-Car),dx = a;l[sinh!l(tfracx-Car)r]0^80 a s = 100l[sinhl(tfrac80-27.89100r) - sinhl(tfrac-27.89100r)r] é
s approx 100,(0.5446 + 0.2824) approx 82.7 m
Com e , temos
Numericamente,
e , então

Resposta

O comprimento total do cabo, respeitando o limite de 1000 kN de tensão máxima, é cerca de 82,7 metros.

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