Um cabo deve suportar uma carga uniformemente distribuída de
segundo o seu vão, que é de 80 m , existindo um desnível de 10 m entre os pontos de suspensão. Sabendo-se que o esforço normal máximo admissível que o cabo pode suportar vale 1.000 kN , pede-se determinar seu comprimento total.
Passo 1
Beleza, vou resumir o que o exercício pede e dizer o que vamos usar.
Enunciado em miúdos: temos um cabo que, no vão horizontal de 80 m, recebe uma carga vertical uniforme de . Há um desnível vertical de 10 m entre os apoios. O cabo só pode atingir até 1000 kN de esforço normal máximo (que, em cabos, ocorre na parte mais tensa, isto é, no ponto de maior componente de tração). Pergunta: qual é o comprimento total do cabo?
Enunciado em miúdos: temos um cabo que, no vão horizontal de 80 m, recebe uma carga vertical uniforme de
Conteúdo: teoria da catenária (forma do cabo sob carga uniformemente distribuída), tensão horizontal
, parâmetro
, equação
e comprimento de arco. Vamos usar:
-
. - Ajustar
para que . - Encontrar constantes
e aplicando as condições de contorno e . - Computar o comprimento
.
Passo 2
Primeiro, a tensão horizontal
(que é a menor componente na parte mais “frouxa”) é dada por
Como o máximo admissível é
e
, escolhemos exatamente o limite:
Passo 3
Agora a equação geral da catenária é
com duas constantes
. Para determinar
, impomos
-
, -
.
Aplicando em
:
Em seguida,
:
Substituindo
e chamando
, fica
Resolvendo numericamente esse
, obtemos
E daí
Passo 4
Falta só o comprimento do cabo. Em catenária,
e o comprimento de arco de
a
é
Com
e
, temos
Numericamente,
e
, então
Resposta
O comprimento total do cabo, respeitando o limite de 1000 kN de tensão máxima, é cerca de 82,7 metros.