Uma linha de transmissão num circuito impresso é formada por dois filmes condutores depositados nas duas faces principais de uma placa isolante de espessura
. Os dois condutores transportam correntes de igual intensidade
, mas fluindo em sentidos contrários.
Considere uma pista de largura
, comprimento
e permeabilidade igual à do vazio. Como
e
, podem considerar-se os condutores como planos infinitos de corrente. Nestas condições:
a) Determine
entre os condutores.
b) Calcule a energia magnética armazenada no sistema e determine a força por unidade de área a que cada placa condutora está sujeita.
c) Calcule a indutância da linha de transmissão e determine o seu valor para
e
.
Considere uma pista de largura
a) Determine
b) Calcule a energia magnética armazenada no sistema e determine a força por unidade de área a que cada placa condutora está sujeita.
c) Calcule a indutância da linha de transmissão e determine o seu valor para
Passo 1
O enunciado dá uma linha de transmissão formada por duas placas condutoras paralelas nas faces de uma placa isolante de espessura
. As placas têm largura
e comprimento
. As correntes em cada placa têm a mesma intensidade
e fluem em sentidos opostos. Está dito que
e
, o que permite aproximar cada condutor por uma folha (plano) de corrente infinita.
Perguntas:
a) Determinar entre os condutores.
b) Calcular a energia magnética armazenada no sistema e determinar a força por unidade de área a que cada placa está sujeita.
c) Calcular a indutância da linha e avaliar para ,
e
.
a) Determinar
b) Calcular a energia magnética armazenada no sistema e determinar a força por unidade de área a que cada placa está sujeita.
c) Calcular a indutância da linha e avaliar para
Informações relevantes fornecidas:
- Espessura do dielétrico (separação entre placas):
. - Largura da pista:
. - Comprimento da pista:
. - Intensidade da corrente em cada placa:
(sentidos opostos). - Aproximação: folhas de corrente infinitas (debido a
). - Permeabilidade do meio igual à do vácuo:
.
Passo 2
Conceito e modelo que vamos usar (aula rápida): folha de corrente e campo magnético.
- Definição de densidade de corrente superficial: para uma placa de largura
que transporta corrente distribuída uniformemente ao longo de , a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento transversal) é
Aqui
é um vetor tangente à placa e aponta na direção da corrente.
- Campo magnético de uma folha (plano) infinita com densidade superficial
: usando a Lei de Ampère (escolhendo um laço retangular atravessando a folha) obtém-se que o módulo do campo magnético produzido por uma folha é
Este campo é uniforme de cada lado da folha; ele muda de sinal atravessando a folha (salto de
).
Breve derivação por Ampère (esquema): escolha um retângulo que cruza a folha; as contribuições laterais se cancelam e a integral dá , levando a
de cada lado.
Breve derivação por Ampère (esquema): escolha um retângulo que cruza a folha; as contribuições laterais se cancelam e a integral dá
Passo 3
Aplicando o modelo ao nosso problema (calculando
entre as placas).
- Escolha de coordenadas e sinais (para clareza): seja
a direção perpendicular às placas, com a placa inferior em e a placa superior em . Tome a corrente na placa inferior no sentido e, por enunciado, a placa superior tem corrente no sentido oposto, ou seja . Assim as densidades superficiais são
- Campo produzido por cada folha na região entre elas: cada folha produz, no espaço entre as placas, um campo de módulo
. As direções são tais que os campos das duas folhas somam-se entre as placas (porque as correntes são opostas). Portanto o módulo do campo magnético entre as placas é
Substituindo
obtemos
onde
é a direção perpendicular a
e a
(a orientação
depende da escolha de eixos; o importante é que
é paralelo a
e uniforme entre as placas). (Se preferir um sinal explícito, com as escolhas acima o campo aponta no sentido
.)
Observação física rápida e amigável: dois condutores com correntes opostas produzem campos que se reforçam entre eles e se anulam fora — por isso há campo apenas entre as placas (e praticamente zero fora), sob a aproximação de folhas infinitas.
Passo 4
Energia magnética armazenada — conceito e fórmula.
- Conceito: a energia magnética por unidade de volume (densidade de energia) é dada por
Isto é uma fórmula padrão da teoria eletromagnética: energia por volume associada ao campo magnético.
- Como
entre as placas é uniforme e praticamente zero fora, a energia total armazenada está no volume entre as placas de área e espessura . Assim
- Substitua
:
Portanto
Passo 5
Força por unidade de área sobre cada placa — duas maneiras de entender (vou fazer pela força de Lorentz na folha, que é direto e didático).
- Força sobre uma folha com densidade superficial
imersa num campo magnético (produzido pelo outro condutor) é dada por força por unidade de área
- Campo na posição de uma placa devido à outra placa: o campo produzido por uma folha é
de cada lado. Assim, a placa inferior vê, por parte da placa superior, um campo de módulo na região entre as placas. Tomando vetores e aplicando (como no Passo 3), obtemos o módulo da força por unidade de área
- Substituindo
,
Este
é a pressão magnética (força por unidade de área) que atua sobre cada placa; o sinal indica que as placas se repelem (correntes em sentidos opostos).
Comentário físico: essa expressão coincide com a densidade de energia magnética
porque
e representa a “pressão” magnética tentando empurrar as placas para fora.
Passo 6
Indutância da linha — definição e cálculo.
- Definição: indutância
de um sistema com corrente é definida pela energia armazenada
- Igualando com a expressão obtida para
no Passo 4:
Cancelando
ambos os lados, obtemos
- Indutância por unidade de comprimento (útil em linhas de transmissão):
Passo 7
Cálculo numérico para
,
,
.
- Converta unidades para SI:
- Use
. Substituindo em :
Calcule a fração:
Logo
Valor numérico aproximado:
Também a indutância por unidade de comprimento vale
Resposta
(a)
(b)
\n
(c)
\nPara