Uma linha de transmissão num circuito impresso é formada por dois filmes condutores depositados nas duas faces principais de uma placa isolante de espessura d. Os dois condutores transportam correntes de igual intensidade I, mas fluindo em sentidos contrários.
Considere uma pista de largura b, comprimento l e permeabilidade igual à do vazio. Como d \ll b e d \ll l, podem considerar-se os condutores como planos infinitos de corrente. Nestas condições:
a) Determine \vec{B} entre os condutores.
b) Calcule a energia magnética armazenada no sistema e determine a força por unidade de área a que cada placa condutora está sujeita.
c) Calcule a indutância da linha de transmissão e determine o seu valor para d=1 \mathrm{~mm}, b=4 \mathrm{~mm} e l=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão formada por duas placas condutoras paralelas nas faces de uma placa isolante de espessura d. As placas têm largura b e comprimento l. As correntes em cada placa têm a mesma intensidade I e fluem em sentidos opostos. Está dito que d\ll b e d\ll l, o que permite aproximar cada condutor por uma folha (plano) de corrente infinita.
Perguntas:
a) Determinar \vec{B} entre os condutores.
b) Calcular a energia magnética armazenada no sistema e determinar a força por unidade de área a que cada placa está sujeita.
c) Calcular a indutância da linha e avaliar para d=1\\ \mathrm{mm}, b=4\\ \mathrm{mm} e l=10\\ \mathrm{cm}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Espessura do dielétrico (separação entre placas): d.
  • Largura da pista: b.
  • Comprimento da pista: l.
  • Intensidade da corrente em cada placa: I (sentidos opostos).
  • Aproximação: folhas de corrente infinitas (debido a d\ll b,l).
  • Permeabilidade do meio igual à do vácuo: \mu_0.

Passo 2

Conceito e modelo que vamos usar (aula rápida): folha de corrente e campo magnético.
  • Definição de densidade de corrente superficial: para uma placa de largura b que transporta corrente I distribuída uniformemente ao longo de b, a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento transversal) é
K=\frac{I}{b}\quad\text{(unidade A/m).}
Aqui \vec{K} é um vetor tangente à placa e aponta na direção da corrente.
  • Campo magnético de uma folha (plano) infinita com densidade superficial \vec{K}: usando a Lei de Ampère (escolhendo um laço retangular atravessando a folha) obtém-se que o módulo do campo magnético produzido por uma folha é
B_{\text{cada folha}}=\frac{\mu_0 K}{2}.
Este campo é uniforme de cada lado da folha; ele muda de sinal atravessando a folha (salto de \mu_0 K).
Breve derivação por Ampère (esquema): escolha um retângulo que cruza a folha; as contribuições laterais se cancelam e a integral dá \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}= \mu_0 I_{\text{enc}}=\mu_0 K\cdot(\text{comprimento do laço})ç, levando a B=\mu_0 K/2 de cada lado.

Passo 3

Aplicando o modelo ao nosso problema (calculando \vec{B} entre as placas).
  • Escolha de coordenadas e sinais (para clareza): seja z a direção perpendicular às placas, com a placa inferior em z=0 e a placa superior em z=d. Tome a corrente na placa inferior no sentido +\hat{x} e, por enunciado, a placa superior tem corrente no sentido oposto, ou seja -\hat{x}. Assim as densidades superficiais são
\vec{K}_{\text{inf}}=K\,\hat{x},\qquad \vec{K}_{\text{sup}}=-K\,\hat{x},\qquad\text{onde }K=\frac{I}{b}.
  • Campo produzido por cada folha na região entre elas: cada folha produz, no espaço entre as placas, um campo de módulo \mu_0 K/2. As direções são tais que os campos das duas folhas somam-se entre as placas (porque as correntes são opostas). Portanto o módulo do campo magnético entre as placas é
B_{\text{entre}}=\frac{\mu_0 K}{2}+\frac{\mu_0 K}{2}=\mu_0 K.
Substituindo K=I/b obtemos
\boxed{\vec{B}\\ \text{entre as placas}=\mu_0\frac{I}{b}\,\hat{y},}
onde \hat{y} é a direção perpendicular a \hat{x} e a \hat{z} (a orientação \pm\hat{y} depende da escolha de eixos; o importante é que \vec{B} é paralelo a \hat{y} e uniforme entre as placas). (Se preferir um sinal explícito, com as escolhas acima o campo aponta no sentido +\hat{y}.)
Observação física rápida e amigável: dois condutores com correntes opostas produzem campos que se reforçam entre eles e se anulam fora — por isso há campo apenas entre as placas (e praticamente zero fora), sob a aproximação de folhas infinitas.

Passo 4

Energia magnética armazenada — conceito e fórmula.
  • Conceito: a energia magnética por unidade de volume (densidade de energia) é dada por
u=\frac{B^2}{2\mu_0}.
Isto é uma fórmula padrão da teoria eletromagnética: energia por volume associada ao campo magnético.
  • Como B entre as placas é uniforme e praticamente zero fora, a energia total armazenada está no volume entre as placas de área A=b\cdot l e espessura d. Assim
U=\int_{\text{volume}} u\,dV = u\cdot (A d)=\frac{B^2}{2\mu_0}\, (b l d).
  • Substitua B=\mu_0 I/b:
U=\frac{1}{2\mu_0}\left(\mu_0\frac{I}{b}\right)^2 b l d = \frac{1}{2\mu_0}\mu_0^2\frac{I^2}{b^2} b l d = \frac{1}{2}\mu_0 I^2\frac{d l}{b}.
Portanto
\boxed{U=\frac{1}{2}\,\mu_0\,I^2\frac{d\,l}{b}.}

Passo 5

Força por unidade de área sobre cada placa — duas maneiras de entender (vou fazer pela força de Lorentz na folha, que é direto e didático).
  • Força sobre uma folha com densidade superficial \vec{K} imersa num campo magnético \vec{B}_{\text{ext}} (produzido pelo outro condutor) é dada por força por unidade de área
\vec{f}=\vec{K}\times\vec{B}_{\text{ext}}.
  • Campo na posição de uma placa devido à outra placa: o campo produzido por uma folha é \mu_0 K/2 de cada lado. Assim, a placa inferior vê, por parte da placa superior, um campo de módulo \mu_0 K/2 na região entre as placas. Tomando vetores e aplicando \vec{K}\times\vec{B} (como no Passo 3), obtemos o módulo da força por unidade de área
f=\frac{\mu_0 K^2}{2}.
  • Substituindo K=I/b,
\boxed{f=\frac{\mu_0}{2}\left(\frac{I}{b}\right)^2=\frac{\mu_0 I^2}{2 b^2}.}
Este f é a pressão magnética (força por unidade de área) que atua sobre cada placa; o sinal indica que as placas se repelem (correntes em sentidos opostos).
Comentário físico: essa expressão coincide com a densidade de energia magnética u=B^2/(2\mu_0) porque u=\mu_0 K^2/2 e representa a “pressão” magnética tentando empurrar as placas para fora.

Passo 6

Indutância da linha — definição e cálculo.
  • Definição: indutância L de um sistema com corrente I é definida pela energia armazenada
U=\frac{1}{2}L I^2.
  • Igualando com a expressão obtida para U no Passo 4:
\frac{1}{2}L I^2=\frac{1}{2}\mu_0 I^2\frac{d l}{b}.
Cancelando \tfrac{1}{2}I^2 ambos os lados, obtemos
\boxed{L=\mu_0\frac{d\,l}{b}.}
  • Indutância por unidade de comprimento (útil em linhas de transmissão):
L'=\frac{L}{l}=\mu_0\frac{d}{b}.

Passo 7

Cálculo numérico para d=1\\ \mathrm{mm}, b=4\\ \mathrm{mm}, l=10\\ \mathrm{cm}.
  • Converta unidades para SI:
d=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad b=4\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad l=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Use \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Substituindo em L=\mu_0\frac{d l}{b}:
L=4\pi\times10^{-7}\cdot\frac{(1\times10^{-3})\cdot(0,1)}{4\times10^{-3}}.
Calcule a fração:
\frac{(1\times10^{-3})\cdot(0,1)}{4\times10^{-3}}=\frac{1\times10^{-4}}{4\times10^{-3}}=0,025.
Logo
L=4\pi\times10^{-7}\times0,025= (4\pi\times0,025)\times10^{-7}= (0,1\pi)\times10^{-7}=\pi\times10^{-8}\\ \mathrm{H}.
Valor numérico aproximado:
L\approx 3{,}1416\times10^{-8}\\ \mathrm{H}=3{,}14\times10^{-8}\\ \mathrm{H}=31{,}4\\ \mathrm{nH}.
Também a indutância por unidade de comprimento vale
L'=\mu_0\frac{d}{b}=4\pi\times10^{-7}\cdot\frac{1\times10^{-3}}{4\times10^{-3}}=\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 3{,}14\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{B}_{\text{entre}}=\mu_0\frac{I}{b}\,\hat{y}.
(b) \displaystyle U=\frac{1}{2}\mu_0 I^2\frac{d\,l}{b}.\n \displaystyle f\\ (\text{força por unidade de área})=\frac{\mu_0 I^2}{2 b^2}.çá
(c) \displaystyle L=\mu_0\frac{d\,l}{b},\quad L'=\mu_0\frac{d}{b}.\nPara d=1\\ \mathrm{mm},\\ b=4\\ \mathrm{mm},\\ l=10\\ \mathrm{cm}:\\ \displaystyle L\approx \pi\times10^{-8}\\ \mathrm{H}\approx 3{,}14\times10^{-8}\\ \mathrm{H}\\ (31{,}4\\ \mathrm{nH}).

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