Considere o sistema formado por dois solenoides coaxiais, muito longos, de raios a e b respetivamente, (a<b), com igual número de espiras por unidade de comprimento, n=N / L, e percorridos por correntes estacionárias de igual intensidade I, fluindo no mesmo sentido.
a) Calcule o campo de indução magnética criado pelos dois solenoides em todo o espaço.
b) Uma partícula de massa m e carga q é lançada de um ponto do eixo dos solenoides, com velocidade de grandeza v dirigida perpendicularmente a esse eixo. Determine a mínima corrente (comum aos dois solenoides) que permite manter a partícula dentro do solenoide interior sem colidir com a sua parede.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois solenoides coaxiais muito longos, de raios a e b com a<b. Ambos têm o mesmo número de espiras por unidade de comprimento n=N/L e são percorridos por correntes estacionárias de mesma intensidade I fluindo no mesmo sentido. O que se pede:
a) Calcular o campo de indução magnética \mathbf{B} criado pelos dois solenoides em todo o espaço (ou seja, para todas as distâncias radiais r ao eixo).
b) Uma partícula de massa m e carga q é lançada de um ponto do eixo dos solenoides com velocidade de grandeza v dirigida perpendicularmente ao eixo. Determinar a menor corrente (comum aos dois solenoides) que mantém a partícula dentro do solenoide interior sem colidir com sua parede.
Informações relevantes listadas:
  • Raios: a (interno) e b (externo), com a<b.
  • Espiras por unidade de comprimento: n.
  • Correntes: I (mesmo sentido nos dois solenoides).
  • Partícula: massa m, carga q, velocidade inicial perpendicular ao eixo de módulo v, lançada a partir do eixo ( r=0).
  • Devemos fornecer \mathbf{B}(r) para todas as regiões radiais e a expressão para a corrente mínima necessária.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar para a parte (a): Ampère e o modelo do solenoide muito longo.
Explicação do modelo do solenoide muito longo:
  • Um solenoide “muito longo” com densidade de espiras n e corrente I cria, no interior do seu volume, um campo axial praticamente uniforme. No exterior, o campo é desprezível (para o modelo ideal de solenoide infinito).
  • Intuitivamente: os contributions magnéticos das espiras se somam dentro e se cancelam fora, levando a campo quase nulo fora.
Derivação rápida e didática do resultado para um único solenoide usando a Lei de Ampère:
  • A Lei de Ampère (no vácuo) diz que, ao longo de um caminho fechado qualquer,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
  • Escolhemos um retângulo cujo lado longo tem comprimento l, com um trecho dentro do solenoide (onde \mathbf{B} é aproximadamente constante e paralelo ao lado) e o restante fora (onde \mathbf{B} é desprezível). As contribuições laterais também são desprezíveis para solenoide muito longo.
  • A corrente total atravessando a área do retângulo é o número de espiras na altura l vezes a corrente por espira: I_{\text{enc}} = n l \cdot I.
  • Aplicando Ampère e cancelando l obtemos:
B_{\text{dentro}} = \mu_0 n I.
  • Fora do solenoide ideal temos B_{\text{fora}}\approx 0.
Observação: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Aqui usamos o modelo ideal de solenoide longo para cada um dos dois solenoides separadamente e depois somamos os campos (princípio da superposição), pois as equações de Maxwell na situação linear permitem soma dos campos gerados por correntes distintas.

Passo 3

Aplicando superposição aos dois solenoides coaxiais:
Definimos r como a distância radial ao eixo. Há três regiões a considerar: r<a, a<r<b e r>b.
  • Região r<a (dentro do solenoide interior): neste ponto a partícula está dentro do interior de ambos os solenoides (pois r<b também). Cada solenoide produz, no seu interior, um campo axial \mu_0 n I no mesmo sentido (porque as correntes fluem no mesmo sentido). Pela superposição, o campo total é a soma:
\mathbf{B}(r) = \mu_0 n I\,\hat{z} + \mu_0 n I\,\hat{z} = 2\mu_0 n I\,\hat{z}.
  • Região a<r<b (entre os dois solenoides): aqui estamos fora do solenoide interno (que produz campo externo aproximadamente zero) e dentro do solenoide externo. Logo só o solenoide externo contribui:
\mathbf{B}(r) = \mu_0 n I\,\hat{z}.
  • Região r>b (fora dos dois solenoides): estamos fora de ambos; cada um tem campo externo aproximadamente zero, então
\mathbf{B}(r) = \mathbf{0}.
Aqui \hat{z} é a direção ao longo do eixo dos solenoides; o sentido (positivo ou negativo) é dado pela regra da mão direita conforme o sentido da corrente. Eu usei \hat{z} como direção do campo para o caso em que a corrente gera campo apontando para +\hat{z}.

Passo 4

Agora a parte (b): movimento de uma carga em campo magnético uniforme axial e condição de confinamento.
Força de Lorentz e movimento circular:
  • A força magnética sobre uma partícula de carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} é
\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
  • Se \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{B} (caso dado), a magnitude da força é
F = |q|\,v\,B,
onde v é a componente de velocidade perpendicular ao campo (aqui a velocidade é toda perpendicular, então v_\perp = v) e usamos o valor absoluto |q| para a magnitude da força centrípeta (o sinal de q só determina o sentido da deflexão).
  • Essa força é sempre perpendicular à velocidade e serve como força centrípeta, obrigando a partícula a descrever movimento circular de raio de curvatura (raio de Larmor) r_L dado por equilíbrio entre força magnética e força centrípeta:
\frac{m v^2}{r_L} = |q| v B.
  • Resolvendo para r_L obtemos
r_L = \frac{m v}{|q| B}.
Geometria inicial (partícula lançada do eixo):
  • A partícula começa em r=0 com velocidade perpendicular ao eixo. Num campo axial uniforme a trajetória é um círculo cujo raio é r_L. A distância máxima ao eixo que a partícula atinge é exatamente r_L (pense: a trajetória circular tem centro deslocado de r_L do eixo quando a partícula parte do eixo). Portanto, para não colidir com a parede do solenoide interno, precisamos de
r_L \le a.

Passo 5

Substituir r_L e o campo em r<a e isolar a corrente mínima.
No interior do solenoide interno (região onde a partícula se move inicialmente) temos, do Passo 3,
B = 2\mu_0 n I.
A condição r_L \le a com r_L = \dfrac{m v}{|q| B}
\frac{m v}{|q| B} \le a.
Substituindo B=2\mu_0 n I obtemos
\frac{m v}{|q|\,(2\mu_0 n I)} \le a.
Isolando I resulta
I \ge \frac{m v}{2\mu_0 n |q| a}.
Portanto a menor corrente comum aos dois solenoides que garante confinamento é
I_{\min} = \frac{m v}{2\mu_0 n |q| a}.
Observações didáticas e físicas rápidas:
  • Usei |q| porque o raio depende da magnitude da carga; o sinal de q apenas inverte o sentido da rotação (sentido horário/anti-horário), não o raio.
  • Se o campo fosse menor, o raio de giro aumentaria e a partícula poderia atingir a parede r=a.
  • A presença do solenoide externo que acrescenta metade do campo útil (no interior soma-se) é que reduz a corrente necessária em relação a um único solenoide interno.

Resposta

Para r<a: \mathbf{B}(r)=2\mu_0 n I\,\hat{z}
Para a<r<b: \mathbf{B}(r)=\mu_0 n I\,\hat{z}
Para r>b: \mathbf{B}(r)=\mathbf{0}
I_{\min}=\dfrac{m v}{2\mu_0 n |q| a}

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