Considere o sistema formado por dois solenoides coaxiais, muito longos, de raios
e
respetivamente,
, com igual número de espiras por unidade de comprimento,
, e percorridos por correntes estacionárias de igual intensidade
, fluindo no mesmo sentido.
a) Calcule o campo de indução magnética criado pelos dois solenoides em todo o espaço.
b) Uma partícula de massa
e carga
é lançada de um ponto do eixo dos solenoides, com velocidade de grandeza
dirigida perpendicularmente a esse eixo. Determine a mínima corrente (comum aos dois solenoides) que permite manter a partícula dentro do solenoide interior sem colidir com a sua parede.
a) Calcule o campo de indução magnética criado pelos dois solenoides em todo o espaço.
b) Uma partícula de massa
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois solenoides coaxiais muito longos, de raios
e
com
. Ambos têm o mesmo número de espiras por unidade de comprimento
e são percorridos por correntes estacionárias de mesma intensidade
fluindo no mesmo sentido. O que se pede:
a) Calcular o campo de indução magnética
criado pelos dois solenoides em todo o espaço (ou seja, para todas as distâncias radiais
ao eixo).
b) Uma partícula de massa
e carga
é lançada de um ponto do eixo dos solenoides com velocidade de grandeza
dirigida perpendicularmente ao eixo. Determinar a menor corrente (comum aos dois solenoides) que mantém a partícula dentro do solenoide interior sem colidir com sua parede.
Informações relevantes listadas:
- Raios:
(interno) e (externo), com . - Espiras por unidade de comprimento:
. - Correntes:
(mesmo sentido nos dois solenoides). - Partícula: massa
, carga , velocidade inicial perpendicular ao eixo de módulo , lançada a partir do eixo ( ). - Devemos fornecer
para todas as regiões radiais e a expressão para a corrente mínima necessária.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar para a parte (a): Ampère e o modelo do solenoide muito longo.
Explicação do modelo do solenoide muito longo:
- Um solenoide “muito longo” com densidade de espiras
e corrente cria, no interior do seu volume, um campo axial praticamente uniforme. No exterior, o campo é desprezível (para o modelo ideal de solenoide infinito). - Intuitivamente: os contributions magnéticos das espiras se somam dentro e se cancelam fora, levando a campo quase nulo fora.
Derivação rápida e didática do resultado para um único solenoide usando a Lei de Ampère:
- A Lei de Ampère (no vácuo) diz que, ao longo de um caminho fechado qualquer,
onde
é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
- Escolhemos um retângulo cujo lado longo tem comprimento
, com um trecho dentro do solenoide (onde é aproximadamente constante e paralelo ao lado) e o restante fora (onde é desprezível). As contribuições laterais também são desprezíveis para solenoide muito longo. - A corrente total atravessando a área do retângulo é o número de espiras na altura
vezes a corrente por espira: . - Aplicando Ampère e cancelando
obtemos:
- Fora do solenoide ideal temos
.
Observação:
é a permeabilidade do vácuo. Aqui usamos o modelo ideal de solenoide longo para cada um dos dois solenoides separadamente e depois somamos os campos (princípio da superposição), pois as equações de Maxwell na situação linear permitem soma dos campos gerados por correntes distintas.
Passo 3
Aplicando superposição aos dois solenoides coaxiais:
Definimos
como a distância radial ao eixo. Há três regiões a considerar:
,
e
.
- Região
(dentro do solenoide interior): neste ponto a partícula está dentro do interior de ambos os solenoides (pois também). Cada solenoide produz, no seu interior, um campo axial no mesmo sentido (porque as correntes fluem no mesmo sentido). Pela superposição, o campo total é a soma:
- Região
(entre os dois solenoides): aqui estamos fora do solenoide interno (que produz campo externo aproximadamente zero) e dentro do solenoide externo. Logo só o solenoide externo contribui:
- Região
(fora dos dois solenoides): estamos fora de ambos; cada um tem campo externo aproximadamente zero, então
Aqui
é a direção ao longo do eixo dos solenoides; o sentido (positivo ou negativo) é dado pela regra da mão direita conforme o sentido da corrente. Eu usei
como direção do campo para o caso em que a corrente gera campo apontando para
.
Passo 4
Agora a parte (b): movimento de uma carga em campo magnético uniforme axial e condição de confinamento.
Força de Lorentz e movimento circular:
- A força magnética sobre uma partícula de carga
movendo-se com velocidade num campo magnético é
- Se
é perpendicular a (caso dado), a magnitude da força é
onde
é a componente de velocidade perpendicular ao campo (aqui a velocidade é toda perpendicular, então
) e usamos o valor absoluto
para a magnitude da força centrípeta (o sinal de
só determina o sentido da deflexão).
- Essa força é sempre perpendicular à velocidade e serve como força centrípeta, obrigando a partícula a descrever movimento circular de raio de curvatura (raio de Larmor)
dado por equilíbrio entre força magnética e força centrípeta:
- Resolvendo para
obtemos
Geometria inicial (partícula lançada do eixo):
- A partícula começa em
com velocidade perpendicular ao eixo. Num campo axial uniforme a trajetória é um círculo cujo raio é . A distância máxima ao eixo que a partícula atinge é exatamente (pense: a trajetória circular tem centro deslocado de do eixo quando a partícula parte do eixo). Portanto, para não colidir com a parede do solenoide interno, precisamos de
Passo 5
Substituir
e o campo em
e isolar a corrente mínima.
No interior do solenoide interno (região onde a partícula se move inicialmente) temos, do Passo 3,
A condição
com
dá
Substituindo
obtemos
Isolando
resulta
Portanto a menor corrente comum aos dois solenoides que garante confinamento é
Observações didáticas e físicas rápidas:
- Usei
porque o raio depende da magnitude da carga; o sinal de apenas inverte o sentido da rotação (sentido horário/anti-horário), não o raio. - Se o campo fosse menor, o raio de giro aumentaria e a partícula poderia atingir a parede
. - A presença do solenoide externo que acrescenta metade do campo útil (no interior soma-se) é que reduz a corrente necessária em relação a um único solenoide interno.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para
Para