Considere um fio cilíndrico de raio a, percorrido por uma corrente de densidade uniforme \vec{J}, que "regressa"ao longo da superfície do condutor, no sentido inverso (admita a existência de um isolante muito fino entre as duas correntes).
a) Determine \vec{B} em todo o espaço.
b) Calcule a energia magnética armazenada no volume do fio e, a partir daí, determine a indutância do fio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o campo magnético \vec{B} em todo o espaço para um fio cilíndrico de raio a percorrido por uma corrente distribuída uniformemente no volume com densidade de corrente \vec{J}, e uma corrente de retorno localizada numa camada superficial na face externa do condutor, com sentido oposto (há um isolante muito fino entre as duas correntes).
  2. Calcular a energia magnética armazenada no volume do fio e, a partir dela, determinar a indutância do fio.
Informações dadas e hipóteses que usaremos (todas fornecidas ou normalmente assumidas neste tipo de problema):
  • O fio é cilíndrico e longo (simetria cilíndrica e independência axial presumidas).
  • O raio do fio é a.
  • Existe uma densidade de corrente uniforme \vec{J} no volume do cilindro (direção ao longo do eixo do cilindro — chamaremos de direção +\hat{z}).
  • Há uma corrente de superfície na face r=a que retorna no sentido oposto (direção -\hat{z}). Admitimos que a corrente de superfície tem a magnitude necessária para anular a corrente total quando vista de fora (isto é, corrente total externa nula).
  • Vamos usar leis do magnetostático aplicáveis à simetria cilíndrica.

Passo 2

Escolhemos o método: por simetria cilíndrica o campo magnético só pode ter componente azimutal \hat{\varphi} (campo em círculos concêntricos em torno do eixo). Para achar \vec{B}(r) usamos a Lei de Ampère (forma integral):
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0} I_{\mathrm{enc}},
onde I_{\mathrm{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a superfície delimitada pelo caminho de integração. Tomamos um caminho amperiano que é um círculo de raio r centrado no eixo do fio; por simetria \vec{B} é tangente a esse círculo e de módulo uniforme ao longo dele, assim
B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}(r).
Explico o que significa cada símbolo:
  • B_\varphi(r) é o módulo da componente azimutal do campo magnético na distância radial r do eixo.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • I_{\mathrm{enc}}(r) é a corrente total atravessando o disco de raio r (isto depende se r<a ou r>a).

Passo 3

Calcular I_{\mathrm{enc}}(r) para r<a (dentro do cilindro):
  • A densidade de corrente é uniforme: a corrente que passa através de um círculo de raio r é a densidade multiplicada pela área desse círculo. Logo
I_{\mathrm{enc}}(r) = J \times \text{área do círculo de raio } r = J\,\pi r^{2}.áí
Substituindo na Lei de Ampère:
B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu_0 (J\pi r^2).
Isolando B_\varphi(r):
B_\varphi(r) = \frac{\mu_0 J \pi r^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 J r}{2}.
Portanto, para r<a o campo tem módulo
\boxed{B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0 J r}{2}.}
E o vetor é azimutal: \vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\varphi}. (A direção \hat{\varphi} é obtida pela regra da mão direita: se \vec{J} aponta em +\hat{z}, \vec{B} circunda o eixo seguindo a convenção direita).

Passo 4

Calcular I_{\mathrm{enc}}(r) para r>a (fora do cilindro):
  • A corrente total gerada pela densidade volumétrica no interior é
I_{\mathrm{vol}} = J \times \pi a^{2}.
  • A corrente de superfície foi descrita como de sentido contrário e localizada em r=a. Pelo enunciado (retorno ao longo da superfície) assumimos que a corrente superficial tem magnitude igual a I_{\mathrm{vol}} e sentido oposto, isto é
I_{\mathrm{surf}} = -J\pi a^{2}.
  • Assim a corrente total encerrada por um laço com r>a é
I_{\mathrm{enc}}(r>a) = I_{\mathrm{vol}} + I_{\mathrm{surf}} = J\pi a^{2} - J\pi a^{2} = 0.
Aplicando Ampère,
B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu_0 \cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad B_\varphi(r)=0 \quad\text{para } r>a.
Logo, fora do fio o campo magnético anula-se por cancelamento das correntes internas e de superfície.

Passo 5

Resumo do campo magnético em todo o espaço (incluindo orientação):
  • Para 0\le r < a:
\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 J r}{2}\,\hat{\varphi}.
  • Para r>a:
\vec{B}(r) = \vec{0}.
Quanto à orientação: se \vec{J} aponta para +\hat{z} no volume, \vec{B} está na direção \hat{\varphi} dada pela regra da mão direita; a corrente de superfície é no sentido oposto e é justamente a responsável por anular o campo para r>a.

Passo 6

Agora calculamos a energia magnética armazenada no volume do fio. A densidade de energia magnética é
u = \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}.
Usamos apenas a região onde B\neq 0, isto é 0\le r<a. Substituindo B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0 J r}{2} obtemos
u(r) = \frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0 J r}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2\mu_0}\cdot\frac{\mu_0^{2} J^{2} r^{2}}{4} = \frac{\mu_0 J^{2} r^{2}}{8}.

Passo 7

Integramos a densidade de energia sobre o volume do fio. Seja \ell o comprimento do fio considerado (o resultado será extensivo em \ell); o volume é o cilindro de raio a e comprimento \ell. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dr\,d\varphi\,dz. Assim a energia total armazenada é
U = \int_{\text{volume}} u\,dV = \int_{z=0}^{\ell}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} \frac{\mu_0 J^{2} r^{2}}{8}\; r\,dr\,d\varphi\,dz.
Executando as integrais angulares e axiais:
U = \ell \cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{a} \frac{\mu_0 J^{2} r^{3}}{8}\,dr = \ell \cdot \frac{\mu_0 J^{2} 2\pi}{8} \cdot \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{a}.
Simplificando:
U = \ell \cdot \frac{\mu_0 J^{2} 2\pi}{8} \cdot \frac{a^{4}}{4} = \ell \cdot \frac{\mu_0 J^{2} \pi a^{4}}{16}.

Passo 8

Expressamos a energia em termos da corrente total I que flui na região volumétrica (a corrente que seria medida atravessando toda a secção):
I = J \,\pi a^{2} \quad\Rightarrow\quad J = \frac{I}{\pi a^{2}}.
Substituindo em U:
U = \ell \cdot \frac{\mu_0 (\,I/(\pi a^{2})\,)^{2} \pi a^{4}}{16} = \ell \cdot \frac{\mu_0 I^{2}}{16\pi}.
Portanto a energia magnética armazenada no volume do fio de comprimento \ell é
\boxed{U = \frac{\mu_0 I^{2}}{16\pi}\,\ell.}

Passo 9

Relacionamos energia magnética e indutância. Para um elemento indutivo com corrente I e indutância total \mathcal{L} vale
U = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\,I^{2}.
Igualando com o U que encontramos:
\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\,I^{2} = \frac{\mu_0 I^{2}}{16\pi}\,\ell.
Cancelando I^{2} e isolando \mathcal{L}:
\mathcal{L} = \frac{2\mu_0}{16\pi}\,\ell = \frac{\mu_0}{8\pi}\,\ell.
É comum também apresentar a indutância por unidade de comprimento (indutância linear) L':
L' \equiv \frac{\mathcal{L}}{\ell} = \frac{\mu_0}{8\pi}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\begin{cases} \dfrac{\mu_0 J r}{2}\,\hat{\varphi}, & 0\le r<a,\\[6pt] \vec{0}, & r>a, \end{cases}
\displaystyle U=\dfrac{\mu_0 I^{2}}{16\pi}\,\ell,\quad \mathcal{L}= \dfrac{\mu_0}{8\pi}\,\ell]

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