Considere um fio cilíndrico de raio
, percorrido por uma corrente de densidade uniforme
, que "regressa"ao longo da superfície do condutor, no sentido inverso (admita a existência de um isolante muito fino entre as duas correntes).
a) Determine
em todo o espaço.
b) Calcule a energia magnética armazenada no volume do fio e, a partir daí, determine a indutância do fio.
a) Determine
b) Calcule a energia magnética armazenada no volume do fio e, a partir daí, determine a indutância do fio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o campo magnético
em todo o espaço para um fio cilíndrico de raio percorrido por uma corrente distribuída uniformemente no volume com densidade de corrente , e uma corrente de retorno localizada numa camada superficial na face externa do condutor, com sentido oposto (há um isolante muito fino entre as duas correntes). - Calcular a energia magnética armazenada no volume do fio e, a partir dela, determinar a indutância do fio.
Informações dadas e hipóteses que usaremos (todas fornecidas ou normalmente assumidas neste tipo de problema):
- O fio é cilíndrico e longo (simetria cilíndrica e independência axial presumidas).
- O raio do fio é
. - Existe uma densidade de corrente uniforme
no volume do cilindro (direção ao longo do eixo do cilindro — chamaremos de direção ). - Há uma corrente de superfície na face
que retorna no sentido oposto (direção ). Admitimos que a corrente de superfície tem a magnitude necessária para anular a corrente total quando vista de fora (isto é, corrente total externa nula). - Vamos usar leis do magnetostático aplicáveis à simetria cilíndrica.
Passo 2
Escolhemos o método: por simetria cilíndrica o campo magnético só pode ter componente azimutal
(campo em círculos concêntricos em torno do eixo). Para achar
usamos a Lei de Ampère (forma integral):
onde
é a corrente elétrica total atravessando a superfície delimitada pelo caminho de integração. Tomamos um caminho amperiano que é um círculo de raio
centrado no eixo do fio; por simetria
é tangente a esse círculo e de módulo uniforme ao longo dele, assim
Explico o que significa cada símbolo:
-
é o módulo da componente azimutal do campo magnético na distância radial do eixo. -
é a permeabilidade do vácuo. -
é a corrente total atravessando o disco de raio (isto depende se ou ).
Passo 3
Calcular
para
(dentro do cilindro):
- A densidade de corrente é uniforme: a corrente que passa através de um círculo de raio
é a densidade multiplicada pela área desse círculo. Logo
Substituindo na Lei de Ampère:
Isolando
:
Portanto, para
o campo tem módulo
E o vetor é azimutal:
. (A direção
é obtida pela regra da mão direita: se
aponta em
,
circunda o eixo seguindo a convenção direita).
Passo 4
Calcular
para
(fora do cilindro):
- A corrente total gerada pela densidade volumétrica no interior é
- A corrente de superfície foi descrita como de sentido contrário e localizada em
. Pelo enunciado (retorno ao longo da superfície) assumimos que a corrente superficial tem magnitude igual a e sentido oposto, isto é
- Assim a corrente total encerrada por um laço com
é
Aplicando Ampère,
Logo, fora do fio o campo magnético anula-se por cancelamento das correntes internas e de superfície.
Passo 5
Resumo do campo magnético em todo o espaço (incluindo orientação):
- Para
:
- Para
:
Quanto à orientação: se
aponta para
no volume,
está na direção
dada pela regra da mão direita; a corrente de superfície é no sentido oposto e é justamente a responsável por anular o campo para
.
Passo 6
Agora calculamos a energia magnética armazenada no volume do fio. A densidade de energia magnética é
Usamos apenas a região onde
, isto é
. Substituindo
obtemos
Passo 7
Integramos a densidade de energia sobre o volume do fio. Seja
o comprimento do fio considerado (o resultado será extensivo em
); o volume é o cilindro de raio
e comprimento
. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Assim a energia total armazenada é
Executando as integrais angulares e axiais:
Simplificando:
Passo 8
Expressamos a energia em termos da corrente total
que flui na região volumétrica (a corrente que seria medida atravessando toda a secção):
Substituindo em
:
Portanto a energia magnética armazenada no volume do fio de comprimento
é
Passo 9
Relacionamos energia magnética e indutância. Para um elemento indutivo com corrente
e indutância total
vale
Igualando com o
que encontramos:
Cancelando
e isolando
:
É comum também apresentar a indutância por unidade de comprimento (indutância linear)
: