Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 A no sentido norte-sul. O campo magnético da Terra
tem a direção norte-sul e forma um ângulo de 70 graus com a horizontal. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força magnética exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m de linha (R. 28,2 N)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
Dados fornecidos:
- Corrente elétrica:
. - Sentido da corrente: “no sentido norte-sul” (o enunciado diz apenas “norte-sul”; não especifica explicitamente se é de norte para sul ou de sul para norte).
- Campo magnético da Terra:
. - A direção do campo magnético é norte-sul (o seu componente horizontal está alinhado com a direção norte-sul) e esse vetor forma um ângulo de
com a horizontal. - Comprimento da linha considerado:
.
Perguntas do enunciado:
- (a) Determinar o módulo da força magnética exercida pelo campo sobre os
da linha. - (b) Determinar a direção da força magnética.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e sem medo): a força magnética sobre um fio retilíneo que carrega corrente é dada pelo produto vetorial entre o vetor comprimento do fio e o campo magnético, multiplicado pela intensidade da corrente. Em forma vetorial:
Explicando cada símbolo:
-
é a corrente elétrica (em ampères). -
é um vetor com módulo igual ao comprimento do fio considerado ( ) e direção igual à direção da corrente (sentido do vetor acompanha o sentido da corrente). -
é o campo magnético (em tesla). - O produto vetorial
produz um vetor perpendicular tanto a quanto a .
A magnitude (módulo) da força resultante é
onde
é o ângulo entre
(direção da corrente) e
. Aqui cada termo significa:
-
é o módulo da força (em newtons). -
é o comprimento do pedaço de fio (em metros). -
é o ângulo entre a direção da corrente e a direção do campo magnético.
Isso é muito útil: a força é máxima quando os vetores são perpendiculares (
) e nula quando são paralelos (
).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso e interpretando o ângulo:
- A corrente corre horizontalmente ao longo da direção norte-sul, e o campo
faz com a horizontal. Logo o ângulo entre (horizontal) e é . - Alternativamente, você pode decompor
em componente horizontal (paralela à corrente) e componente vertical (perpendicular à corrente). A componente horizontal não causa força (pois fica paralela à corrente). A componente vertical tem módulo e é a responsável pela força. Ambas as visões dão a mesma fórmula .
Antes de substituir, convertemos unidades:
Passo 4
Calculemos
primeiro:
Agora calculemos
(sem o
ainda):
faça a conta de potências e coeficientes:
e
Portanto
Esse valor seria a força se
. Agora multiplica pela
do ângulo real.
Passo 5
Calcule
. Conhecendo que
, temos:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando com razoável precisão para três algarismos significativos:
Passo 6
Agora a direção da força (a parte de “onde empurra”): a direção de
é perpendicular tanto à corrente quanto ao campo, dada pela regra da mão direita para o produto vetorial
.
- Para aplicar a regra: aponte o polegar na direção da corrente (sentido do vetor
), aponte os dedos na direção do campo e então a palma (ou o dedo médio, dependendo da forma) indica a direção de . - O enunciado só diz “no sentido norte-sul” para a corrente e que o campo é norte-sul inclinado
com a horizontal; não detalha se a corrente vai exatamente de norte para sul ou o contrário, nem se o componente vertical do campo aponta para baixo ou para cima. Essas duas ambiguidades invertem o sentido da força (ou seja, se invertermos a corrente o sentido da força inverte; se invertemos o sentido vertical de a força também inverte). - Tomando a convenção natural usada com frequência (corrente de norte para sul e componente vertical do campo apontando para baixo — como costuma ocorrer no Hemisfério Norte), o resultado da aplicação da regra da mão direita dá que a força aponta para o leste (ou seja, horizontalmente perpendicular à linha, para o lado leste).
- Observação prática: se a corrente fosse no sentido oposto (sul→norte) a força apontaria para o oeste; se o componente vertical do campo apontasse para cima em vez de para baixo, o sentido novamente se inverteria.
Resposta
(a)
(b) para o leste (perpendicular à linha; o sentido inverte se a corrente ou o componente vertical de forem invertidos)
(b) para o leste (perpendicular à linha; o sentido inverte se a corrente ou o componente vertical de