Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 A no sentido norte-sul. O campo magnético da Terra (B=60,0 \mu \mathrm{~T}) tem a direção norte-sul e forma um ângulo de 70 graus com a horizontal. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força magnética exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m de linha (R. 28,2 N)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
Dados fornecidos:
  • Corrente elétrica: I=5000\\ \mathrm{A}.
  • Sentido da corrente: “no sentido norte-sul” (o enunciado diz apenas “norte-sul”; não especifica explicitamente se é de norte para sul ou de sul para norte).
  • Campo magnético da Terra: B=60{,}0\\ \mu\mathrm{T}.
  • A direção do campo magnético é norte-sul (o seu componente horizontal está alinhado com a direção norte-sul) e esse vetor forma um ângulo de 70^\circ com a horizontal.
  • Comprimento da linha considerado: L=100\\ \mathrm{m}.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Determinar o módulo da força magnética exercida pelo campo sobre os 100\\ \mathrm{m} da linha.
  • (b) Determinar a direção da força magnética.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e sem medo): a força magnética sobre um fio retilíneo que carrega corrente é dada pelo produto vetorial entre o vetor comprimento do fio e o campo magnético, multiplicado pela intensidade da corrente. Em forma vetorial:
\vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B}.
Explicando cada símbolo:
  • I é a corrente elétrica (em ampères).
  • \vec{L} é um vetor com módulo igual ao comprimento do fio considerado ( L) e direção igual à direção da corrente (sentido do vetor acompanha o sentido da corrente).
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla).
  • O produto vetorial \times produz um vetor perpendicular tanto a \vec{L} quanto a \vec{B}.
A magnitude (módulo) da força resultante é
F = I\,L\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{L} (direção da corrente) e \vec{B}. Aqui cada termo significa:
  • F é o módulo da força (em newtons).
  • L é o comprimento do pedaço de fio (em metros).
  • \theta é o ângulo entre a direção da corrente e a direção do campo magnético.
Isso é muito útil: a força é máxima quando os vetores são perpendiculares ( \sin\theta=1) e nula quando são paralelos ( \sin\theta=0).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso e interpretando o ângulo:
  • A corrente corre horizontalmente ao longo da direção norte-sul, e o campo \vec{B} faz 70^\circ com a horizontal. Logo o ângulo entre \vec{L} (horizontal) e \vec{B} é \theta=70^\circ.
  • Alternativamente, você pode decompor \vec{B} em componente horizontal (paralela à corrente) e componente vertical (perpendicular à corrente). A componente horizontal não causa força (pois fica paralela à corrente). A componente vertical tem módulo B\sin70^\circ e é a responsável pela força. Ambas as visões dão a mesma fórmula F=I L B \sin70^\circ.
Antes de substituir, convertemos unidades:
B=60{,}0\\ \mu\mathrm{T}=60{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Calculemos I\cdot L primeiro:
I\cdot L = 5000\\ \mathrm{A}\times 100\\ \mathrm{m}=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A\cdot m}.
Agora calculemos I L B (sem o \sin ainda):
I L B = 5{,}0\times10^{5}\times 60{,}0\times10^{-6}
faça a conta de potências e coeficientes:
5{,}0\times60{,}0 = 300{,}0
e
10^{5}\times10^{-6}=10^{-1}.
Portanto
I L B = 300{,}0\times10^{-1}\\ \mathrm{N}=30{,}0\\ \mathrm{N}.
Esse valor seria a força se \sin\theta=1. Agora multiplica pela \sin do ângulo real.

Passo 5

Calcule \sin70^\circ. Conhecendo que \sin70^\circ\approx0{,}9396926, temos:
F = (I L B)\sin70^\circ = 30{,}0\times0{,}9396926 \\ \mathrm{N}.
Fazendo a multiplicação:
F \approx 28{,}1908\\ \mathrm{N}.
Arredondando com razoável precisão para três algarismos significativos:
F \approx 28{,}2\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Agora a direção da força (a parte de “onde empurra”): a direção de \vec{F} é perpendicular tanto à corrente quanto ao campo, dada pela regra da mão direita para o produto vetorial \vec{L}\times\vec{B}.
  • Para aplicar a regra: aponte o polegar na direção da corrente (sentido do vetor \vec{L}), aponte os dedos na direção do campo \vec{B} e então a palma (ou o dedo médio, dependendo da forma) indica a direção de \vec{F}.
  • O enunciado só diz “no sentido norte-sul” para a corrente e que o campo é norte-sul inclinado 70^\circ com a horizontal; não detalha se a corrente vai exatamente de norte para sul ou o contrário, nem se o componente vertical do campo aponta para baixo ou para cima. Essas duas ambiguidades invertem o sentido da força (ou seja, se invertermos a corrente o sentido da força inverte; se invertemos o sentido vertical de \vec{B} a força também inverte).
  • Tomando a convenção natural usada com frequência (corrente de norte para sul e componente vertical do campo apontando para baixo — como costuma ocorrer no Hemisfério Norte), o resultado da aplicação da regra da mão direita dá que a força aponta para o leste (ou seja, horizontalmente perpendicular à linha, para o lado leste).
  • Observação prática: se a corrente fosse no sentido oposto (sul→norte) a força apontaria para o oeste; se o componente vertical do campo apontasse para cima em vez de para baixo, o sentido novamente se inverteria.

Resposta

(a) 28{,}2\\ \mathrm{N}
(b) para o leste (perpendicular à linha; o sentido inverte se a corrente ou o componente vertical de \vec{B} forem invertidos)

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