- Q|C Uma corda com densidade linear
é mantida sob uma tensão de
. Conforme uma onda senoidal transversal se propaga na corda, os elementos desta se movem com velocidade máxima
. (a) Determine a potência transmitida pela onda em função de
(b) Declare, em palavras, a proporcionalidade entre a potência e
. (c) Encontre a energia contida em um segmento de corda de
de comprimento em função de
. (d) Expresse a resposta da parte (c) em termos da massa
desse segmento. (e) Encontre a energia que a onda carrega depois de passar um ponto em 6,00 s.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- densidade linear da corda
. Vou converter para SI: . - tensão da corda
. - a onda é senoidal transversal e os elementos da corda têm velocidade transversal máxima
(isso é a amplitude da velocidade transversal).
- densidade linear da corda
- O que o enunciado pede:
(a) Determine a potência transmitida pela onda em função de.
(b) Declare, em palavras, a proporcionalidade entre a potência e.
(c) Encontre a energia contida em um segmento de corda de comprimentoem função de .
(d) Expresse a resposta da parte (c) em termos da massadesse segmento.
(e) Encontre a energia que a onda carrega depois de passar um ponto em.
Passo 2
Vamos deduzir a expressão para a potência média transmitida por uma onda senoidal numa corda. Primeiro apresento as hipóteses e definições que usamos (coisas padrão para onda senoidal em corda):
- Representamos a onda por
onde
é a amplitude transversal,
é o número de onda,
é a frequência angular, e a velocidade de fase é
.
- A velocidade transversal instantânea de um ponto da corda é
A amplitude dessa velocidade é
.
- A potência instantânea que passa por uma seção da corda é dada por (física básica de ondas em corda)
onde
é a tensão. Explicando:
dá a inclinação local da corda; multiplicando por
obtemos uma força transversal; multiplicando por
obtemos taxa de trabalho → potência instantânea.
Calculemos as derivadas:
Multiplicando e inserindo em
:
A potência instantânea varia no tempo; normalmente interessa a potência média no tempo, que usa
. Assim a potência média é
Agora expressamos essa potência em termos de
. Observe também que
e
, logo
. Substituindo
:
Como
, temos
. Portanto
Agora substituo os dados numéricos para simplificar:
e
, então
Logo a potência média fica
onde
está em watts se
estiver em
.
Passo 3
Resposta em palavras para a parte (b):
- A potência média transmitida pela onda é proporcional ao quadrado da velocidade transversal máxima. Em símbolos:
.
Explicando intuitivamente: dobrar a amplitude da velocidade faz a potência quadruplicar.
Passo 4
Agora vamos achar a energia contida num segmento de corda de comprimento
, em função de
.
- Energia total num pequeno elemento é soma da energia cinética e da energia potencial elástica associada à deformação. Para a onda senoidal, as energias médias por unidade de comprimento (energia média linear) são iguais e somam:
Derivação rápida: a energia cinética média por comprimento é
e a potencial média por comprimento também é
, somando
.
- Usando
obtemos
A energia média contida no segmento de comprimento
é
Substituindo
e
,
Em notação científica isto é
joules (com
em
).
Passo 5
Parte (d): expressar
em termos da massa
do segmento.
- A massa do segmento é
. Então da expressão anterior
Isso é bonito: a energia média armazenada no segmento equivale à energia cinética média de uma massa
movendo-se com velocidade amplitude
(lembre que aqui é média no tempo).
Passo 6
Parte (e): energia que a onda carrega depois de passar um ponto em
.
- A energia transportada através de um ponto por unidade de tempo é a potência média
. Portanto a energia transportada em tempo é
Usando
(obtido no Passo 2) e
,
Assim a energia que passou por um ponto em
é
joules (com
em
).
Resposta
(a)
(b) A potência é proporcional ao quadrado da velocidade transversal máxima:
(c)
(d)
(e)