1. Q|C Uma corda com densidade linear 0,500 \mathrm{~g} / \mathrm{m} é mantida sob uma tensão de 20,0 \mathrm{~N}. Conforme uma onda senoidal transversal se propaga na corda, os elementos desta se movem com velocidade máxima v_{y, \text { máx }}á. (a) Determine a potência transmitida pela onda em função de v_{\text {máx. }}á (b) Declare, em palavras, a proporcionalidade entre a potência e v_{y, \text { máx }}á. (c) Encontre a energia contida em um segmento de corda de 3,00 \mathrm{~m} de comprimento em função de v_{y, \text { máx }}á. (d) Expresse a resposta da parte (c) em termos da massa m desse segmento. (e) Encontre a energia que a onda carrega depois de passar um ponto em 6,00 s.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • densidade linear da corda \mu = 0{,}500\\ \mathrm{g/m}. Vou converter para SI: \mu = 0{,}500\\ \mathrm{g/m} = 0{,}0005\\ \mathrm{kg/m}.
    • tensão da corda T = 20{,}0\\ \mathrm{N}.
    • a onda é senoidal transversal e os elementos da corda têm velocidade transversal máxima \,v_{y,\text{máx}}á (isso é a amplitude da velocidade transversal).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determine a potência transmitida pela onda em função de \,v_{y,\text{máx}}á.
    (b) Declare, em palavras, a proporcionalidade entre a potência e \,v_{y,\text{máx}}á.
    (c) Encontre a energia contida em um segmento de corda de comprimento L=3{,}00\\ \mathrm{m} em função de \,v_{y,\text{máx}}á.
    (d) Expresse a resposta da parte (c) em termos da massa m desse segmento.
    (e) Encontre a energia que a onda carrega depois de passar um ponto em 6{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos deduzir a expressão para a potência média transmitida por uma onda senoidal numa corda. Primeiro apresento as hipóteses e definições que usamos (coisas padrão para onda senoidal em corda):
  • Representamos a onda por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde A é a amplitude transversal, k é o número de onda, \omega é a frequência angular, e a velocidade de fase é v_p=\omega/k.
  • A velocidade transversal instantânea de um ponto da corda é
\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx-\omega t).
A amplitude dessa velocidade é \,v_{y,\text{máx}}=A\omegaá.
  • A potência instantânea que passa por uma seção da corda é dada por (física básica de ondas em corda)
P(x,t) = -T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right),
onde T é a tensão. Explicando: \partial y/\partial x dá a inclinação local da corda; multiplicando por T obtemos uma força transversal; multiplicando por \partial y/\partial t obtemos taxa de trabalho → potência instantânea.
Calculemos as derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx-\omega t), \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx-\omega t).
Multiplicando e inserindo em P(x,t):
P(x,t) = -T\big(Ak\cos(\cdot)\big)\big(-A\omega\cos(\cdot)\big) = T A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t).
A potência instantânea varia no tempo; normalmente interessa a potência média no tempo, que usa \langle\cos^2\rangle = 1/2. Assim a potência média é
\langle P\rangle = \frac{1}{2} T A^2 k \omega.
Agora expressamos essa potência em termos de \,v_{y,\text{máx}}=A\omegaá. Observe também que k=\omega/v_p e v_p=\sqrt{T/\mu}, logo k=\omega\sqrt{\mu/T}. Substituindo k:
\langle P\rangle = \frac{1}{2} T A^2 \omega \,k = \frac{1}{2} T A^2 \omega \left(\omega\sqrt{\frac{\mu}{T}}\right) = \frac{1}{2} A^2 \omega^2 \sqrt{\mu T}.
Como A\omega = v_{y,\text{máx}}á, temos A^2\omega^2 = v_{y,\text{máx}}^2á. Portanto
\boxed{\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,v_{y,\text{máx}}^2\,\sqrt{\mu T}.}á
Agora substituo os dados numéricos para simplificar: \mu=0{,}0005\\ \mathrm{kg/m} e T=20{,}0\\ \mathrm{N}, então
\sqrt{\mu T}=\sqrt{0{,}0005\cdot 20{,}0}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1\\ \mathrm{kg/s}.
Logo a potência média fica
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,v_{y,\text{máx}}^2\cdot 0{,}1 = 0{,}05\,v_{y,\text{máx}}^2,áá
onde \langle P\rangle está em watts se v_{y,\text{máx}}á estiver em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Resposta em palavras para a parte (b):
  • A potência média transmitida pela onda é proporcional ao quadrado da velocidade transversal máxima. Em símbolos: \langle P\rangle \propto v_{y,\text{máx}}^2á.
    Explicando intuitivamente: dobrar a amplitude da velocidade faz a potência quadruplicar.

Passo 4

Agora vamos achar a energia contida num segmento de corda de comprimento L=3{,}00\\ \mathrm{m}, em função de v_{y,\text{máx}}á.
  • Energia total num pequeno elemento é soma da energia cinética e da energia potencial elástica associada à deformação. Para a onda senoidal, as energias médias por unidade de comprimento (energia média linear) são iguais e somam:
u = \text{energia média por unidade de comprimento} = \frac{1}{2}\,\mu A^2 \omega^2.é
Derivação rápida: a energia cinética média por comprimento é \frac{1}{4}\mu A^2\omega^2 e a potencial média por comprimento também é \frac{1}{4}\mu A^2\omega^2, somando \frac{1}{2}\mu A^2\omega^2.
  • Usando v_{y,\text{máx}}=A\omegaá obtemos
u=\frac{1}{2}\,\mu v_{y,\text{máx}}^2.á
A energia média contida no segmento de comprimento L é
U = u L = \frac{1}{2}\,\mu L\,v_{y,\text{máx}}^2.á
Substituindo \mu=0{,}0005\\ \mathrm{kg/m} e L=3{,}00\\ \mathrm{m},
U = \frac{1}{2}\cdot 0{,}0005\cdot 3{,}00\;v_{y,\text{máx}}^2 = 0{,}00075\;v_{y,\text{máx}}^2.áá
Em notação científica isto é U=7{,}50\times10^{-4}\,v_{y,\text{máx}}^2á joules (com v_{y,\text{máx}}á em \mathrm{m/s}).

Passo 5

Parte (d): expressar U em termos da massa m do segmento.
  • A massa do segmento é m=\mu L. Então da expressão anterior
U = \frac{1}{2}\,\mu L\,v_{y,\text{máx}}^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_{y,\text{máx}}^2.áá
Isso é bonito: a energia média armazenada no segmento equivale à energia cinética média de uma massa m movendo-se com velocidade amplitude v_{y,\text{máx}}á (lembre que aqui é média no tempo).

Passo 6

Parte (e): energia que a onda carrega depois de passar um ponto em t=6{,}00\\ \mathrm{s}.
  • A energia transportada através de um ponto por unidade de tempo é a potência média \langle P\rangle. Portanto a energia transportada em tempo \Delta t é
E = \langle P\rangle \Delta t.
Usando \langle P\rangle = 0{,}05\,v_{y,\text{máx}}^2á (obtido no Passo 2) e \Delta t = 6{,}00\\ \mathrm{s},
E = 0{,}05\,v_{y,\text{máx}}^2 \cdot 6{,}00 = 0{,}30\,v_{y,\text{máx}}^2.áá
Assim a energia que passou por um ponto em 6{,}00\\ \mathrm{s} é E=0{,}30\,v_{y,\text{máx}}^2á joules (com v_{y,\text{máx}}á em \mathrm{m/s}).

Resposta

(a) \displaystyle \langle P\rangle=\tfrac{1}{2}\,v_{y,\text{máx}}^{2}\sqrt{\mu T}=0{,}05\,v_{y,\text{máx}}^{2}\\ \mathrm{W}.áá
(b) A potência é proporcional ao quadrado da velocidade transversal máxima: \langle P\rangle\propto v_{y,\text{máx}}^{2}.á
(c) \displaystyle U_{L=3{,}00\\ \mathrm{m}}=\tfrac{1}{2}\,\mu L\,v_{y,\text{máx}}^{2}=0{,}00075\,v_{y,\text{máx}}^{2}\\ \mathrm{J}.áá
(d) \displaystyle U=\tfrac{1}{2}\,m\,v_{y,\text{máx}}^{2}.á
(e) \displaystyle E_{\Delta t=6{,}00\\ \mathrm{s}}=\langle P\rangle\Delta t=0{,}30\,v_{y,\text{máx}}^{2}\\ \mathrm{J}.á

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