Uma onda transversal em uma corda é descrita pela função de onda:
y(x, t)=0,350 \text { sen }(1,25 x+99,6 t)

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda
y(x,t)=0,350\\ \text{sen}\,(1,25\,x+99,6\,t).
Não foi feita uma pergunta explícita, então vou calcular as grandezas que normalmente se pedem numa questão sobre uma onda senoidal: amplitude, número de onda, frequência angular, comprimento de onda, período, frequência, velocidade de propagação, sentido de propagação, velocidade e aceleração transversais (e seus valores máximos) e o deslocamento inicial em x=0,t=0. Essas são as informações que costumo ver na prova e que a expressão acima permite obter sem nenhuma outra informação.

Passo 2

Amplitude: a amplitude é o fator multiplicando a função seno, que dá a máxima deflexão transversal da corda. Aqui o coeficiente é 0,350. Logo,
A=0,350\\ \text{m}.
Explicação curta: se a corda estivesse livre para oscilar, o maior valor de |y| seria A.

Passo 3

Identificar o número de onda k e a frequência angular \omega: o argumento do seno tem a forma 1,25\,x+99,6\,t; comparando com a forma geral \sin(kx+\omega t), obtemos
k=1,25\quad\text{(rad/m)},\qquad \omega=99,6\quad\text{(rad/s)}.
Breve explicação: k multiplica x e mede quantas variações de fase ocorrem por unidade de comprimento; \omega multiplica t e mede quantas variações de fase ocorrem por segundo.

Passo 4

Comprimento de onda \lambda: a relação entre k e \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Despejando \lambda,
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{1,25}.
Calculemos: 2\pi\approx6,283185, então
\lambda\approx\frac{6,283185}{1,25}\approx5,026548\\ \text{m}.
Arredondando para três algarismos significativos,
\lambda\approx5,03\\ \text{m}.
Explicação prática: \lambda é a distância entre dois máximos consecutivos da onda.

Passo 5

Período T e frequência f: a relação entre \omega e T é
\omega=\frac{2\pi}{T}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=99,6,
T=\frac{2\pi}{99,6}\approx\frac{6,283185}{99,6}\approx0,063066\\ \text{s},
ou seja, arredondando,
T\approx0,0631\\ \text{s}.
A frequência f é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{99,6}{2\pi}\approx15,86\\ \text{Hz}.
Explicação: T é o tempo que uma partícula da corda demora para completar uma oscilação; f é quantas oscilações por segundo.

Passo 6

Velocidade de propagação v: existem duas fórmulas equivalentes úteis,
v=\lambda f\quad\text{ou}\quad v=\frac{\omega}{k}.
Usando \omega/k,
v=\frac{99,6}{1,25}=79,68\\ \text{m/s}.
Verificação com \lambda f: \lambda\approx5,0265 e f\approx15,86 dão 5,0265\cdot15,86\approx79,68\\ \text{m/s}. Então
v\approx79,68\\ \text{m/s}.
Explicação: essa é a velocidade com que os picos da onda se deslocam ao longo da corda.

Passo 7

Sentido de propagação: a forma geral \sin(kx-\omega t) representa uma onda que se desloca para o sentido positivo de x; já \sin(kx+\omega t) representa uma onda que se desloca para o sentido negativo de x. Como o argumento é kx+\omega t (sinal mais), concluímos que a onda se propaga para o sentido negativo de x (ou seja, no sentido -x).

Passo 8

Deslocamento inicial e fase inicial: avaliando em x=0 e t=0,
y(0,0)=0,350\\ \text{sen}(0)=0.
Portanto a corda passa pela posição de equilíbrio em x=0,t=0. Não há uma fase adicional constante além do que já está no argumento.

Passo 9

Velocidade transversal (derivada temporal) e seu máximo: a velocidade transversal de um ponto fixo x é
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=0,350\cdot\cos(1,25x+99,6t)\cdot99,6.
Multiplicando os números:
v_y(x,t)=34,86\\ \cos(1,25x+99,6t)\quad(\text{m/s}).
O valor máximo absoluto de v_y ocorre quando |\cos|=1, assim
|v_{y,\max}|=A\omega=34,86\\ \text{m/s}.
Explicação: a derivada do seno em relação ao tempo traz um fator \omega.

Passo 10

Aceleração transversal e seu máximo: a aceleração transversal é a derivada temporal da velocidade transversal:
a_y(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-0,350\cdot\sin(1,25x+99,6t)\cdot(99,6)^2.
O módulo máximo é
|a_{y,\max}|=A\omega^2=0,350\cdot(99,6)^2.
Calculemos: (99,6)^2=9920,16, então
|a_{y,\max}|=0,350\cdot9920,16\approx3472,056\\ \text{m/s}^2,
arredondando,
|a_{y,\max}|\approx3472,06\\ \text{m/s}^2.
Explicação: a derivada de \cos traz outro fator \omega, daí \omega^2.

Resposta

Amplitude: A=0,350\\ \text{m}
Número de onda: k=1,25\\ \text{rad/m}
Frequência angular: \omega=99,6\\ \text{rad/s}
Comprimento de onda: \lambda\approx5,03\\ \text{m}
Período: T\approx0,0631\\ \text{s}
Frequência: f\approx15,86\\ \text{Hz}
Velocidade de propagação: v\approx79,68\\ \text{m/s}
Sentido de propagação: para o sentido -x
Deslocamento em x=0,t=0: y(0,0)=0
Velocidade transversal: v_y(x,t)=34,86\cos(1,25x+99,6t)\\ \text{m/s} (máx.: |v_{y,\max}|=34,86\\ \text{m/s})
Aceleração transversal: a_y(x,t)=-0,350(99,6)^2\sin(1,25x+99,6t)\\ \text{m/s}^2 (máx.: |a_{y,\max}|\approx3472,06\\ \text{m/s}^2)

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