1 - Um cabo coaxial é usado para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada
. A frequência de operação é de 20 MHz e o cabo coaxial tem os seguintes parâmetros:
e C
.
b) Se
, determinar o comprimento máximo de cabo coaxial de modo que a atenuação total não seja maior que
;
soomo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
- Frequência de operação:
. - Parâmetros do cabo (por metro):
- resistência série:
. - condutância shunt:
. - indutância por metro:
. - capacitância por metro:
.
- resistência série:
- Impedância de carga dada:
.
O que o enunciado pede:
- (b) Determinar o comprimento máximo
do cabo coaxial de modo que a atenuação total não seja maior que .
Observação: a impedância de carga
foi informada; no entanto, a atenuação por unidade de comprimento de uma linha homogênea é determinada pelos parâmetros
e pela frequência — a presença de reflexão por descasamento muda a potência entregue, mas a atenuação contínua por unidade de comprimento depende apenas de
. Vou calcular a constante de atenuação por metro e então o comprimento máximo.
Passo 2
Princípio físico e fórmula principal (aulas rápidas):
- A constante de propagação complexa da linha é
onde:
-
é a pulsação (rad/s), -
é a constante de atenuação (nepers por metro), -
é a constante de fase (radianos por metro). -
Em geral calcular
exige a raiz complexa. Para linhas de “baixa perda” (quando e ) existe uma boa aproximação simples e muito usada:
Essa fórmula é prática porque dá
diretamente em
a partir de
. Vou justificar e verificar a validade das hipóteses a seguir.
Passo 3
Verificação da condição “baixa perda” (importante para usar a aproximação):
- Calcular
:
Numericamente:
- Calcular
(comparar com ):
Compare com
: claramente
(0,05 ≪ 31,4).
- Calcular
(comparar com ):
Compare com
: claramente
.
Conclusão: as hipóteses
e
são válidas, então a aproximação de baixa perda é apropriada.
Passo 4
Derivação curta (intuição) da fórmula aproximada para
:
- Partimos de
- Como
e são pequenos, expandimos usando aproximação de primeira ordem: para . - Ao fazer as contas, a parte real de
(que é ) fica
Essa é a fórmula que vou usar numericamente.
Passo 5
Cálculo numérico de
passo a passo:
- Calcular
e .
- Calcular os termos de
:
- Somando e dividindo por 2:
Portanto, a constante de atenuação aproximada é
.
Passo 6
Relacionando
com atenuação em decibéis e encontrando o comprimento máximo:
- A atenuação em decibéis (para amplitude ou potência, convenientemente) ao longo de um comprimento
é
- Como
, podemos usar a aproximação prática
- Queremos
. Assim o comprimento máximo satisfaz
- Substituindo
:
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova:
- O resultado é
. Curiosamente saiu um número redondo — por causa dos valores simétricos dos termos na fórmula (os dois termos contribuíram igualmente). - Em prova: verifique sempre as hipóteses de baixa perda antes de usar a fórmula aproximada; calcule
e e compare com e . Se não for baixa perda, seria preciso calcular exatamente e extrair a parte real, o que complica bastante as contas à mão.