1 - Um cabo coaxial é usado para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 20 MHz e o cabo coaxial tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=20 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,05 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=250 \mathrm{nH} / \mathrm{m} e C =100 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
b) Se \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50 \Omega, determinar o comprimento máximo de cabo coaxial de modo que a atenuação total não seja maior que 4,343 \mathrm{~dB};
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Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
  • Frequência de operação: f=20\\ \text{MHz}.
  • Parâmetros do cabo (por metro):
    • resistência série: R=0,05\\ \Omega/\mathrm{m}.
    • condutância shunt: G=20\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
    • indutância por metro: L=250\\ \mathrm{nH}/\mathrm{m}=250\times10^{-9}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}.
    • capacitância por metro: C=100\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}=100\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Impedância de carga dada: \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
  • (b) Determinar o comprimento máximo \ell_{\max} do cabo coaxial de modo que a atenuação total não seja maior que 4,343\\ \mathrm{dB}.
Observação: a impedância de carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} foi informada; no entanto, a atenuação por unidade de comprimento de uma linha homogênea é determinada pelos parâmetros R,G,L,C e pela frequência — a presença de reflexão por descasamento muda a potência entregue, mas a atenuação contínua por unidade de comprimento depende apenas de R,G,L,C. Vou calcular a constante de atenuação por metro e então o comprimento máximo.

Passo 2

Princípio físico e fórmula principal (aulas rápidas):
  • A constante de propagação complexa da linha é
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)},
onde:
  • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s),
  • \alpha é a constante de atenuação (nepers por metro),
  • \beta é a constante de fase (radianos por metro).
  • Em geral calcular \alpha=\Re(\gamma) exige a raiz complexa. Para linhas de “baixa perda” (quando R\ll\omega L e G\ll\omega C) existe uma boa aproximação simples e muito usada:
\alpha \approx \frac{1}{2}\!\left(R\sqrt{\frac{C}{L}} + G\sqrt{\frac{L}{C}}\right).
Essa fórmula é prática porque dá \alpha diretamente em 1/\mathrm{m} a partir de R,G,L,C. Vou justificar e verificar a validade das hipóteses a seguir.

Passo 3

Verificação da condição “baixa perda” (importante para usar a aproximação):
  • Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 20\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
Numericamente:
\omega \approx 125{,}663706\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
  • Calcular \omega L (comparar com R):
\omega L \;=\; \omega\cdot L \;=\; 125{,}663706\times10^{6}\cdot 250\times10^{-9}\\ \Omega/\mathrm{m}.
\omega L \;=\; 31{,}4159265\\ \Omega/\mathrm{m}.
Compare com R=0,05\\ \Omega/\mathrm{m}: claramente R\ll\omega L (0,05 ≪ 31,4).
  • Calcular \omega C (comparar com G):
\omega C \;=\; \omega\cdot C \;=\;125{,}663706\times10^{6}\cdot 100\times10^{-12}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
\omega C \;=\; 0{,}0125663706\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
Compare com G=20\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}=0{,}00002\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}: claramente G\ll\omega C.
Conclusão: as hipóteses R\ll\omega L e G\ll\omega C são válidas, então a aproximação de baixa perda é apropriada.

Passo 4

Derivação curta (intuição) da fórmula aproximada para \alpha:
  • Partimos de
\gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=j\omega\sqrt{LC}\sqrt{\left(1+\frac{R}{j\omega L}\right)\left(1+\frac{G}{j\omega C}\right)}.
  • Como R/(j\omega L) e G/(j\omega C) são pequenos, expandimos \sqrt{(1+x)(1+y)} usando aproximação de primeira ordem: \sqrt{(1+x)(1+y)}\approx 1+\tfrac{1}{2}(x+y) para |x|,|y|\ll1.
  • Ao fazer as contas, a parte real de \gamma (que é \alpha) fica
\alpha \approx \frac{1}{2}\!\left(R\sqrt{\frac{C}{L}} + G\sqrt{\frac{L}{C}}\right).
Essa é a fórmula que vou usar numericamente.

Passo 5

Cálculo numérico de \alpha passo a passo:
  • Calcular \sqrt{\dfrac{C}{L}} e \sqrt{\dfrac{L}{C}}.
\frac{C}{L}=\frac{100\times10^{-12}}{250\times10^{-9}}= \frac{100}{250}\times10^{-3}=0{,}4\times10^{-3}=4\times10^{-4}.
\sqrt{\frac{C}{L}}=\sqrt{4\times10^{-4}}=2\times10^{-2}=0{,}02\\ (\Omega^{-1}).
\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{0{,}02}=50\\ \Omega.
  • Calcular os termos de \alpha:
R\sqrt{\frac{C}{L}}=0{,}05\cdot 0{,}02=0{,}001\\ \mathrm{m}^{-1}.
G\sqrt{\frac{L}{C}}=20\times10^{-6}\cdot 50 = 1{,}0\times10^{-3}=0{,}001\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Somando e dividindo por 2:
\alpha \approx \frac{1}{2}\,(0{,}001 + 0{,}001)=\frac{1}{2}\cdot0{,}002=0{,}001\\ \mathrm{nepers}/\mathrm{m}.
Portanto, a constante de atenuação aproximada é \alpha \approx 0{,}001\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 6

Relacionando \alpha com atenuação em decibéis e encontrando o comprimento máximo:
  • A atenuação em decibéis (para amplitude ou potência, convenientemente) ao longo de um comprimento \ell é
A_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}\!\big(e^{\alpha \ell}\big) = 20\log_{10}(e)\,\alpha \ell.
  • Como 20\log_{10}(e)\approx 8{,}685889, podemos usar a aproximação prática
A_{\mathrm{dB}} \approx 8{,}686\\ \alpha \ell.
  • Queremos A_{\mathrm{dB}}\le 4{,}343\\ \mathrm{dB}. Assim o comprimento máximo \ell_{\max} satisfaz
\ell_{\max} = \frac{4{,}343}{8{,}686\,\alpha}.
  • Substituindo \alpha=0{,}001\\ \mathrm{m}^{-1}:
\ell_{\max} = \frac{4{,}343}{8{,}686\times 0{,}001} = \frac{4{,}343}{0{,}008686}=500\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova:
  • O resultado é \ell_{\max}=500\\ \mathrm{m}. Curiosamente saiu um número redondo — por causa dos valores simétricos dos termos na fórmula (os dois termos contribuíram igualmente).
  • Em prova: verifique sempre as hipóteses de baixa perda antes de usar a fórmula aproximada; calcule \omega L e \omega C e compare com R e G. Se não for baixa perda, seria preciso calcular \gamma exatamente e extrair a parte real, o que complica bastante as contas à mão.

Resposta

\ell_{\max}=500\\ \mathrm{m}

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