Uma linha de transmissão no ar tem impedância característica de 70 Omega,e portanto, pode ser considerada uma linha sem perdas. Sua constante de fase é de 3 rad / m a 100 MHz . Calcule a indutância por metro e a capacitância por metro da linha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma linha de transmissão no ar com uma impedância característica de e uma constante de fase de a uma frequência de . Queremos descobrir a indutância por metro ( ) e a capacitância por metro ( ) dessa linha. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas básicas das linhas de transmissão, que envolvem impedância característica e constante de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a impedância característica ( Z0 = raizLC ) de uma linha de transmissão sem perdas é dada por:
Isso nos mostra a relação entre a indutância ( ) e a capacitância ( ) por metro da linha.

Passo 3

Também sabemos que a constante de fase ( beta = omega raizL C ) está relacionada com a frequência angular ( ) e com e da seguinte forma:
Onde é a frequência angular, sendo a frequência em hertz.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a frequência angular ( omega = 2pi f = 2pi times 100 times 10^6,rad/s approx 6,2832 times 10^8,rad/s ) usando a frequência dada de :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da impedância característica para expressar Z0 = raizLC implies L = Z0^2 times C em termos de :

Passo 6

Substituindo beta = omega raizL C = omega raizZ0^2 C times C = omega Z0 C na fórmula da constante de fase:
C = betaomega Z0
Isso nos permite resolver para :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
C = 3,rad/m6,2832 times 10^8,rad/s times 70,Omega approx 34,3982 times 10^10 approx 6,818 times 10^-11,F/m
Ou seja, a capacitância por metro é aproximadamente .

Passo 8

Com o valor de L = Z0^2 times C = (70,Omega)^2 times 6,818 times 10^-11,F/m = 4900 times 6,818 times 10^-11 approx 3,337 times 10^-7,H/m encontrado, podemos agora calcular :
Então, a indutância por metro é aproximadamente .

Resposta

A indutância por metro da linha é aproximadamente e a capacitância por metro é aproximadamente .

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