Vetores de campo de uma OEM que se desloca através de um meio sem perdas são dadas por
e
. Em um ponto do espaço e instante de tempo, a densidade de potência superficial transportada pela onda e a densidade de energia eletromagnética da onda chega a
e
, respectivamente. Quais são a permissividade e a permeabilidade relativas do meio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ondas eletromagnéticas (OEM) se movendo num meio sem perdas. Os vetores de campo elétrico E e magnético H são fornecidos, assim como a densidade de potência superficial P e a densidade de energia eletromagnética φ_em. O que queremos descobrir são a permissividade relativa (ε_r) e a permeabilidade relativa (μ_r) do meio. Para resolver isso, vamos precisar das relações fundamentais das OEM, como a relação entre E, H, P, φ_em, e como elas se conectam com ε_r e μ_r.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de potência superficial P é dada pelo vetor de Poynting (S), que representa a energia transferida pela onda. A fórmula para o vetor de Poynting é:
Como estamos interessados na magnitude, temos:
Aqui, E é a amplitude do campo elétrico e H é a amplitude do campo magnético.
Passo 3
Sabemos que a densidade de energia eletromagnética φ_em em um meio é a soma das energias armazenadas nos campos elétrico e magnético:
Onde ε é a permissividade do meio e μ é a permeabilidade do meio. Como queremos as relativas, lembramos que:
ε₀ e μ₀ são a permissividade e permeabilidade do vácuo, respectivamente.
Passo 4
Vamos usar os valores fornecidos:
- E = 1,333 V/m
- H = 4,243 mA/m = 0,004243 A/m (já que 1 A = 1000 mA)
- P = 1,7 mW/m² = 0,0017 W/m²
- φ_em = 16,97 pJ/m³ = 16,97 × 10^{-12} J/m³
Primeiro, vamos verificar a relação entre P e E × H:
Parece que há uma discrepância, então é possível que H seja dada em -a_z, mas consideramos apenas os valores absolutos para magnitudes.
Passo 5
Agora, vamos usar a densidade de energia:
Substituindo os valores:
Isso nos dá uma equação com ε e μ.
Passo 6
Sabemos que em um meio sem perdas, a velocidade da onda v está relacionada com ε e μ:
Além disso, a relação entre E e H em um meio é dada pela impedância característica do meio (η):
Vamos calcular η:
Então:
Quadrando ambos os lados:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos μ na equação da densidade de energia:
Calculando os termos:
Resolvendo para ε:
Passo 8
Agora, encontramos μ:
Passo 9
Finalmente, calculamos a permissividade e permeabilidade relativas:
Resposta
A permissividade relativa do meio é aproximadamente ε_r ≈ 2,12 e a permeabilidade relativa é aproximadamente μ_r ≈ 1,47 × 10⁻³.