Uma linha de transmissão trifásica de 60 Hz tem comprimento de 250 milhas (402,336 \mathrm{~km}). A tensão no lado do envio é 220 kV . Os parâmetros da linha são: R=0,2 \Omega / \mathrm{mi}, X=0,8 \Omega / \mathrm{mi} e Y=5,3 \mu \mathrm{S} / \mathrm{mi}. Determinar a corrente no lado do envio quando a linha está a vazio.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que nos foi dado, sem resolver ainda):
  • Comprimento da linha: l=250\\ \mathrm{mi} (já dado também que isso equivale a 402{,}336\\ \mathrm{km}).
  • Tensão no lado do envio (tensão linha-linha): V_{LL}=220\\ \mathrm{kV}.
  • Parâmetros por milha: R=0{,}2\\ \Omega/\mathrm{mi},\qquad X=0{,}8\\ \Omega/\mathrm{mi},\qquad Y=5{,}3\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{mi}.Aqui vou interpretar Y como admitância shunt por milha (predominantemente susceptância capacitiva), isto é y=j\,5{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{S/mi}.
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz} (fornecida no enunciado).
  • Situação pedido: linha a vazio (receiving end aberto). Pergunta: determinar a corrente no lado do envio quando a linha está a vazio.
Observações do que precisamos obter: a corrente que circula no lado do envio é a corrente de carga (charging current) da linha; em uma linha longa deve-se usar o modelo de linha longa (coeficientes hiperbólicos) e calcular a corrente de envio por fase. A tensão de 220\\ \mathrm{kV} é tensão linha-linha; para os cálculos por fase usaremos a tensão fase-neutro \displaystyle V_{ph}=\dfrac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.

Passo 2

Escolha do método (por que usar este método)
  • A linha tem l=250\\ \mathrm{mi}\approx402\\ \mathrm{km}. Esse comprimento é grande: trata-se de uma linha longa, então o modelo exato de linha longa (com constante de propagação \gamma e impedância característica Z_c) é o apropriado.
  • Método: usar as equações da linha longa. Para condição a vazio (receiving end current I_r=0) as equações dão: \begin{aligned} V_s &= V_r\operatorname{cosh}(\gamma l),\\[4pt] I_s &= \dfrac{V_r}{Z_c}\operatorname{sinh}(\gamma l). \end{aligned}Eliminando V_r (pois normalmente conhecemos V_s), obtém-se a forma prática: I_s=\dfrac{V_s}{Z_c}\operatorname{tanh}(\gamma l).Vou aplicar essa fórmula por fase: V_s aqui é a tensão fase-neutro no envio.
Agora vamos calcular passo a passo todas as grandezas: impedância por milha z, admitância por milha y, constante de propagação \gamma, impedância característica Z_c, \operatorname{tanh}(\gamma l) e finalmente I_s.]

Passo 3

Definir z e y por milha e convertê-los em forma complexa
  • Impedância por milha: z = R + jX = 0{,}2 + j0{,}8\\ \Omega/\mathrm{mi}.
  • Admitância por milha (interpretei Y como susceptância pura): y = j\,5{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{mi}.
Explicação curta das grandezas:
  • z é a impedância série por unidade de comprimento (ohms por milha): representa resistência e reatância da linha por milha.
  • y é a admitância shunt por unidade de comprimento (siemens por milha): representa a capacitância da linha distribuída (a corrente de carga é i_y=y\cdot v localmente).

Passo 4

Calcular o produto z\cdot y (passo intermediário para \gamma=\sqrt{z y})
Calculemos:
z\cdot y = (0{,}2 + j0{,}8)\cdot j\,5{,}3\!\times\!10^{-6}.
Multiplicando:
(0{,}2 + j0{,}8)\cdot j = j0{,}2 + j^2 0{,}8 = j0{,}2 - 0{,}8 = -0{,}8 + j0{,}2.
Agora multiplicando por 5{,}3\times10^{-6}:
z y = -0{,}8\cdot5{,}3\times10^{-6} + j\,0{,}2\cdot5{,}3\times10^{-6} = -4{,}24\times10^{-6} + j\,1{,}06\times10^{-6}.
Comentário didático: z y é um número complexo pequeno; sua raiz quadrada dará a constante de propagação por milha.

Passo 5

Calcular \gamma=\sqrt{z y} por milha (raízes complexas — passo a passo)
Temos z y = a + jb com a=-4{,}24\times10^{-6} e b=1{,}06\times10^{-6}.
  1. Módulo:
|z y|=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{(-4{,}24\times10^{-6})^2 + (1{,}06\times10^{-6})^2} \approx 4{,}369\times10^{-6}.
  1. Argumento (ângulo) \theta=\arg(z y):
\theta = \operatorname{atan2}(b,a)=\operatorname{atan2}(1{,}06\times10^{-6},-4{,}24\times10^{-6}) \approx 165{,}96^\circ.
  1. Raiz quadrada: \gamma=\sqrt{|z y|}\,\angle\theta/2.
\sqrt{|z y|} \approx \sqrt{4{,}369\times10^{-6}} \approx 2{,}089\times10^{-3}.
\theta/2 \approx 82{,}98^\circ.
Portanto, em forma cartesiana:
\gamma \approx 0{,}000255 + j\,0{,}002073\quad\text{(por milha)}.
Explicando: \gamma=\alpha+j\beta onde \alpha é atenuação por unidade de comprimento e \beta é constante de fase por unidade de comprimento. Aqui \alpha é pequeno (0,000255/mi) e \beta domina (0,002073/mi).

Passo 6

Calcular \gamma l (multiplicar por comprimento total)
Multiplicamos \gamma por l=250\\ \mathrm{mi}:
\gamma l = (0{,}000255 + j\,0{,}002073)\cdot250 \approx 0{,}0637 + j\,0{,}5183.
Comentário: esse é o argumento que entra nas funções hiperbólicas ( \operatorname{cosh},\operatorname{sinh},\operatorname{tanh}) para a linha inteira.

Passo 7

Calcular a impedância característica Z_c=\sqrt{\dfrac{z}{y}}
Primeiro calcule z/y:
\dfrac{z}{y}=\dfrac{0{,}2 + j0{,}8}{j\,5{,}3\times10^{-6}}.
Usando 1/j=-j:
\dfrac{z}{y}=(0{,}2 + j0{,}8)\cdot\dfrac{-j}{5{,}3\times10^{-6}} =\dfrac{0{,}8 - j0{,}2}{5{,}3\times10^{-6}} \approx 150\,943{,}396 - j\,37\,735{,}849\\ \Omega.
Agora Z_c=\sqrt{z/y}. Tomando módulo e ângulo e a raiz:
  • Módulo |z/y|\approx155\,520.
  • Ângulo \varphi\approx -13{,}966^\circ.
    Raiz:
|Z_c|\approx\sqrt{155\,520}\approx394{,}37,\qquad \tfrac{\varphi}{2}\approx -6{,}983^\circ.
Voltando a cartesiano:
Z_c \approx 391{,}31 - j\,47{,}78\\ \Omega.
Interpretação: Z_c tem módulo da ordem de algumas centenas de ohms, e um pequeno componente imaginário negativo (reatância capacitiva efetiva no característico) — resultados coerentes com z e y fornecidos.

Passo 8

Calcular \operatorname{tanh}(\gamma l) usando fórmula para número complexo
Para u=\alpha+j\beta vale
\operatorname{tanh}(u)=\dfrac{\operatorname{sinh}(2\alpha)+j\sin(2\beta)}{\operatorname{cosh}(2\alpha)+\cos(2\beta)}.
Aqui \alpha=0{,}0637 e \beta=0{,}5183.
Calculemos:
  • 2\alpha\approx0{,}1274. Então \operatorname{sinh}(2\alpha)\approx0{,}1278 e \operatorname{cosh}(2\alpha)\approx1{,}0081.
  • 2\beta\approx1{,}0366\\ \mathrm{rad}. Então \sin(2\beta)\approx0{,}8604 e \cos(2\beta)\approx0{,}5096.
Substituindo:
\operatorname{tanh}(\gamma l)\approx \dfrac{0{,}1278 + j\,0{,}8604}{1{,}0081 + 0{,}5096} =\dfrac{0{,}1278 + j\,0{,}8604}{1{,}5177} \approx 0{,}0842 + j\,0{,}5672.
Também podemos anotar módulo e ângulo:
|\operatorname{tanh}(\gamma l)|\approx0{,}5735,\qquad \arg\approx81{,}52^\circ.
Comentário didático: o componente imaginário dominante mostra que a resposta é muito reativa (corrente quase em quadratura com a tensão), característica do efeito capacitivo.

Passo 9

Converter tensão linha-linha em tensão fase (por fase) e escrever a fórmula final
Tensão fase-neutro:
V_{ph}=\dfrac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\dfrac{220{,}000}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\approx127{,}017\\ \mathrm{V}.
Fórmula a usar (linha longa, carga aberta):
I_s=\dfrac{V_s}{Z_c}\operatorname{tanh}(\gamma l),
onde V_s é a tensão por fase no envio (tomada como referência de ângulo 0^\circ).

Passo 10

Fazer a multiplicação final (cálculo de I_s)
Procedimento prático (uso de formas fasoriais em módulo-ângulo):
  • V_s = 127{,}017\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • \operatorname{tanh}(\gamma l) tem módulo 0{,}5735 e ângulo 81{,}52^\circ.
  • Z_c tem módulo 394{,}37\\ \Omega e ângulo -6{,}983^\circ. Então 1/Z_c tem módulo 1/394{,}37\approx0{,}002535 e ângulo +6{,}983^\circ.
Multiplicando:
\dfrac{\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_c}:\quad \text{módulo}=0{,}5735\cdot0{,}002535\approx0{,}001453,ó
\text{ângulo}=81{,}52^\circ+6{,}983^\circ\approx88{,}50^\circ.â
Finalmente:
I_s = V_{ph}\cdot\frac{\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_c}
\Rightarrow |I_s| \approx 127{,}017\cdot0{,}001453 \approx 184{,}6\\ \mathrm{A},
ângulo total \approx 88{,}5^\circ.
Interpretação: a corrente por fase no envio é aproximadamente 184{,}6\\ \mathrm{A} com ângulo +88{,}5^\circ (ou seja, quase 90^\circ à frente da tensão — característica de corrente de carga capacitiva).

Resposta

I_s \approx 184{,}6\angle 88{,}5^\circ\\ \mathrm{A} (por fase).

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