Uma linha de transmissão trifásica de 60 Hz tem comprimento de 250 milhas
. A tensão no lado do envio é 220 kV . Os parâmetros da linha são:
e
. Determinar a corrente no lado do envio quando a linha está a vazio.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que nos foi dado, sem resolver ainda):
- Comprimento da linha:
(já dado também que isso equivale a ). - Tensão no lado do envio (tensão linha-linha):
. - Parâmetros por milha:
Aqui vou interpretar como admitância shunt por milha (predominantemente susceptância capacitiva), isto é . - Frequência:
(fornecida no enunciado). - Situação pedido: linha a vazio (receiving end aberto). Pergunta: determinar a corrente no lado do envio quando a linha está a vazio.
Observações do que precisamos obter: a corrente que circula no lado do envio é a corrente de carga (charging current) da linha; em uma linha longa deve-se usar o modelo de linha longa (coeficientes hiperbólicos) e calcular a corrente de envio por fase. A tensão de
é tensão linha-linha; para os cálculos por fase usaremos a tensão fase-neutro
.
Passo 2
Escolha do método (por que usar este método)
- A linha tem
. Esse comprimento é grande: trata-se de uma linha longa, então o modelo exato de linha longa (com constante de propagação e impedância característica ) é o apropriado. - Método: usar as equações da linha longa. Para condição a vazio (receiving end current
) as equações dão: Eliminando (pois normalmente conhecemos ), obtém-se a forma prática: Vou aplicar essa fórmula por fase: aqui é a tensão fase-neutro no envio.
Agora vamos calcular passo a passo todas as grandezas: impedância por milha
, admitância por milha
, constante de propagação
, impedância característica
,
e finalmente
.]
Passo 3
Definir
e
por milha e convertê-los em forma complexa
- Impedância por milha:
- Admitância por milha (interpretei
como susceptância pura):
Explicação curta das grandezas:
-
é a impedância série por unidade de comprimento (ohms por milha): representa resistência e reatância da linha por milha. -
é a admitância shunt por unidade de comprimento (siemens por milha): representa a capacitância da linha distribuída (a corrente de carga é localmente).
Passo 4
Calcular o produto
(passo intermediário para
)
Calculemos:
Multiplicando:
Agora multiplicando por
:
Comentário didático:
é um número complexo pequeno; sua raiz quadrada dará a constante de propagação por milha.
Passo 5
Calcular
por milha (raízes complexas — passo a passo)
Temos
com
e
.
- Módulo:
- Argumento (ângulo)
:
- Raiz quadrada:
.
Portanto, em forma cartesiana:
Explicando:
onde
é atenuação por unidade de comprimento e
é constante de fase por unidade de comprimento. Aqui
é pequeno (0,000255/mi) e
domina (0,002073/mi).
Passo 6
Calcular
(multiplicar por comprimento total)
Multiplicamos
por
:
Comentário: esse é o argumento que entra nas funções hiperbólicas (
) para a linha inteira.
Passo 7
Calcular a impedância característica
Primeiro calcule
:
Usando
:
Agora
. Tomando módulo e ângulo e a raiz:
- Módulo
. - Ângulo
.
Raiz:
Voltando a cartesiano:
Interpretação:
tem módulo da ordem de algumas centenas de ohms, e um pequeno componente imaginário negativo (reatância capacitiva efetiva no característico) — resultados coerentes com
e
fornecidos.
Passo 8
Calcular
usando fórmula para número complexo
Para
vale
Aqui
e
.
Calculemos:
-
. Então e . -
. Então e .
Substituindo:
Também podemos anotar módulo e ângulo:
Comentário didático: o componente imaginário dominante mostra que a resposta é muito reativa (corrente quase em quadratura com a tensão), característica do efeito capacitivo.
Passo 9
Converter tensão linha-linha em tensão fase (por fase) e escrever a fórmula final
Tensão fase-neutro:
Fórmula a usar (linha longa, carga aberta):
onde
é a tensão por fase no envio (tomada como referência de ângulo
).
Passo 10
Fazer a multiplicação final (cálculo de
)
Procedimento prático (uso de formas fasoriais em módulo-ângulo):
-
-
tem módulo e ângulo . -
tem módulo e ângulo . Então tem módulo e ângulo .
Multiplicando:
Finalmente:
ângulo total
.
Interpretação: a corrente por fase no envio é aproximadamente
com ângulo
(ou seja, quase
à frente da tensão — característica de corrente de carga capacitiva).