Uma linha de transmissão trifásica, 60 Hz , tem comprimento de 281,635 \mathrm{~km} ( 175 milhas), impedância série total de 0,35+j 140 \Omega e admitância shunt total de j 930 \times 10^{-6} \mathrm{~S}. A LT entrega 40 MW em 220 kV com fator de potência de 90 \% em atraso. Determinar a tensão no lado do envio por aproximação:
da equação de linha longa.

Passo 1

Enunciado e dados (o que pede e o que é fornecido):
\text{Linha trifásica, }f=60\\ \text{Hz},\quad l=281{,}635\\ \text{km}=175\\ \text{mi}.á
Dados totais da linha (valores para cada fase, totais distribuídos):
Z_{\text{total}}=0{,}35+j140\\ \Omega,\qquad Y_{\text{total}}=j\,930\times10^{-6}\\ \text{S}.
A carga entregue é:
P_{\text{3φ}}=40\\ \text{MW},\qquad V_{LL,\text{rec}}=220\\ \text{kV},\qquad \text{fp}=0{,}90\\ \text{(atraso)}.φ
O que se pede:
  • Determinar a tensão no lado do envio (tensão de envio), usando a aproximação da equação de linha longa (usar o modelo de linha longa com as funções hiperbólicas, i.e., A=\operatorname{cosh}(\gamma l) e B=Z_c\operatorname{sinh}(\gamma l), e a relação V_s=AV_r+BI_r).
    (Dados importantes listados para consulta na resolução.)

Passo 2

Escolha do método e fórmulas principais (explicação didática do que vamos usar):
  • Para uma linha longa com parâmetros distribuídos é usual usar as matrizes ABCD da linha:
A=D=\operatorname{cosh}(\gamma l),\qquad B=Z_c\operatorname{sinh}(\gamma l),\qquad C=\frac{1}{Z_c}\operatorname{sinh}(\gamma l),
onde:
\gamma=\sqrt{Z'Y'}\quad\text{(constante de propagação)},\qquad Z_c=\sqrt{\frac{Z'}{Y'}}\quad\text{(impedância característica)}.çãâí
  • Se forem dados os totais da linha Z_{\text{total}} e Y_{\text{total}} para todo o comprimento, podemos usar diretamente:
\gamma l = \sqrt{Z_{\text{total}}\,Y_{\text{total}}},\qquad Z_c=\sqrt{\frac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}}.
  • A tensão no envio por fase é dada por:
\boxed{V_s = A\,V_r + B\,I_r}
onde V_r e I_r são as grandezas por fase no lado de carga (recebimento). Vou explicar cada variável:
  • V_r: tensão fase (linha-neutro) no receptor — usamos V_{LL}/\sqrt{3}.
  • I_r: corrente de carga por fase; obtida a partir da potência aparente por fase S_{\text{ph}} por I_r=\dfrac{\overline{S_{\text{ph}}}}{V_r} (atenção: usar o conjugado para a relação S=V I^*, portanto I=\overline{S}/V).
  • Motivação do método: o enunciado pede “linha longa” — então usamos as expressões com \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} (modelo exato da linha longa). É a forma correta e prática quando os parâmetros são dados para toda a linha.

Passo 3

Converter grandezas trifásicas para per–fase e calcular a corrente da carga por fase (explicação passo a passo):
  • Tensão de recepção por fase:
V_r=\frac{V_{LL,\text{rec}}}{\sqrt{3}}=\frac{220\,000}{\sqrt{3}}\\ \text{V} \approx 127018{,}45\\ \text{V}.
  • Potência por fase (ativa):
P_{\text{ph}}=\frac{P_{\text{3φ}}}{3}=\frac{40\times10^{6}}{3}=13{,}333{,}333\times10^{6}\\ \text{W}.φ
  • Módulo da potência aparente por fase:
|S_{\text{ph}}|=\frac{P_{\text{ph}}}{\text{fp}}=\frac{13{,}333{,}333\times10^{6}}{0{,}9}=14{,}814{,}814{,}8\\ \text{VA}.
  • Ângulo de potência (ângulo entre V e I):
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}9)\approx 25{,}8419^\circ.
Para carga indutiva (atraso) o componente reativo é positivo, e para obter a corrente:
I_r=\frac{\overline{S_{\text{ph}}}}{V_r}=\frac{|S_{\text{ph}}|\angle(-\varphi)}{V_r}.
Logo o módulo da corrente por fase é
|I_r|=\frac{14{,}814{,}814{,}8}{127018{,}45}\approx 116{,}631\\ \text{A},
e o ângulo é -\varphi, ou seja:
I_r\approx 116{,}631\angle(-25{,}8419^\circ)\\ \text{A}.
Convertendo para forma retangular (útil para multiplicações):
I_r=116{,}631(\cos(-25{,}8419^\circ)+j\sin(-25{,}8419^\circ))
I_r\approx 104{,}9679 - j50{,}8160\\ \text{A}.

Passo 4

Calcular \gamma l=\sqrt{Z_{\text{total}}Y_{\text{total}}} (detalhando a multiplicação complexa):
Dados:
Z_{\text{total}}=0{,}35+j140,\qquad Y_{\text{total}}=j\,930\times10^{-6}=j\,0{,}00093.
Produto:
Z_{\text{total}}Y_{\text{total}}=(0{,}35+j140)(j0{,}00093).
Multiplicando termo a termo:
0{,}35\cdot j0{,}00093=j0{,}0003255,
j140\cdot j0{,}00093=j^2(140\cdot0{,}00093)=-0{,}1302.
Somando:
Z_{\text{total}}Y_{\text{total}}=-0{,}1302 + j0{,}0003255.
Agora calculamos a raiz quadrada complexa (isto dá \gamma l):
  • Em forma polar, o módulo é
r=\sqrt{(-0{,}1302)^2+(0{,}0003255)^2}\approx 0{,}1302077,
e o argumento é aproximadamente 179{,}857^\circ. A raiz quadrada tem módulo \sqrt{r} e argumento metade:
\gamma l=\sqrt{Z_{\text{total}}Y_{\text{total}}}\approx 0{,}360889\angle 89{,}9285^\circ.
Voltando à forma retangular (separa parte real a e imaginária b):
\gamma l \approx 0{,}00045095 + j\,0{,}3608887.
Observação didática: \gamma l tem parte real pequena (atenuação) e parte imaginária não desprezível (fase/propagação).

Passo 5

Calcular a impedância característica Z_c=\sqrt{\dfrac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}} (passo a passo):
\frac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}=\frac{0{,}35+j140}{j0{,}00093}.
Dividir por j é equivalente a multiplicar por -j:
\frac{0{,}35+j140}{j0{,}00093}=(0{,}35+j140)\frac{-j}{0{,}00093} =\frac{140}{0{,}00093}-j\frac{0{,}35}{0{,}00093}.
Numericamente:
\frac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}\approx 150{,}537{,}634{,}4 - j376{,}344{,}086.
A raiz quadrada complexa dá:
Z_c=\sqrt{\frac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}}\approx 387{,}9596 - j0{,}4846\\ \Omega.
Interpretação: Z_c é majoritariamente real e grande (linha de alta tensão tem grande impedância característica real), com pequena componente reativa.

Passo 6

Calcular \operatorname{cosh}(\gamma l) e \operatorname{sinh}(\gamma l) (uso das fórmulas para argumentos complexos e explicação):
Para um número complexo u=a+jb,
\operatorname{cosh}(u)=\operatorname{cosh}(a)\cos(b)+j\operatorname{sinh}(a)\sin(b),
\operatorname{sinh}(u)=\operatorname{sinh}(a)\cos(b)+j\operatorname{cosh}(a)\sin(b).
Aqui a=0{,}00045095 e b=0{,}3608887.
  • Aproximações úteis (já que a é muito pequeno):
\operatorname{cosh}(a)\approx 1+\frac{a^2}{2}\approx 1{,}0000001017,\qquad \operatorname{sinh}(a)\approx a\approx 0{,}00045095.
Cálculo das partes trigonométricas:
\cos(b)\approx \cos(0{,}3608887)\approx 0{,}9354491,\qquad \sin(b)\approx 0{,}3534930.
Agora:
A=\operatorname{cosh}(\gamma l)=\operatorname{cosh}(a)\cos(b)+j\,\operatorname{sinh}(a)\sin(b)\approx 0{,}9354491 + j\,0{,}0001594.
\operatorname{sinh}(\gamma l)\approx 0{,}0004219 + j\,0{,}3534930.

Passo 7

Calcular B=Z_c\operatorname{sinh}(\gamma l) e confirmar A:
Dados:
Z_c\approx 387{,}9596 - j0{,}4846,\qquad \operatorname{sinh}(\gamma l)\approx 0{,}0004219 + j0{,}3534930.
Multiplicando (detalhe das contas reais e imaginárias):
  • Parte real de B:
\Re(B)=387{,}9596\cdot 0{,}0004219 - (-0{,}4846)\cdot 0{,}3534930 \approx 0{,}163539 + 0{,}171250 \approx 0{,}334789.
  • Parte imaginária de B:
\Im(B)=387{,}9596\cdot 0{,}3534930 + (-0{,}4846)\cdot 0{,}0004219 \approx 137{,}0228.
Assim:
B\approx 0{,}334789 + j\,137{,}0228\\ \Omega.
Confirmamos A já calculado:
A\approx 0{,}9354491 + j\,0{,}0001594.

Passo 8

Calcular A V_r e B I_r separadamente (multiplicações complexas detalhadas):
  • V_r (fase) já: V_r\approx 127018{,}45\angle 0^\circ\\ \text{V}.
  • Primeiro:
A V_r = (0{,}9354491 + j0{,}0001594)\cdot 127018{,}45.
Fazendo a multiplicação:
A V_r \approx 118{,}821{,}86 + j\,20{,}2469\\ \text{V}.
  • Em seguida B I_r, com I_r\approx 104{,}9679 - j50{,}8160\\ \text{A}:
B I_r=(0{,}334789 + j137{,}0228)(104{,}9679 - j50{,}8160).
Multiplicando (detalhe):
\Re(BI_r)=0{,}334789\cdot104{,}9679 - 137{,}0228\cdot(-50{,}8160)\approx 35{,}1369 + 6963{,}2930 \approx 6{,}998{,}4299\\ \text{V},
\Im(BI_r)=0{,}334789\cdot(-50{,}8160) + 137{,}0228\cdot104{,}9679 \approx -17{,}0110 + 14{,}378{,}7620 \approx 14{,}361{,}7510\\ \text{V}.
Portanto:
B I_r \approx 6{,}998{,}4299 + j\,14{,}361{,}7510\\ \text{V}.

Passo 9

Somar A V_r e B I_r para obter V_s por fase e converter para linha–linha (explicando como obter magnitude e ângulo):
V_s = A V_r + B I_r.
Somando as partes reais e imaginárias:
V_s \approx (118{,}821{,}86 + 6{,}998{,}4299) + j(20{,}2469 + 14{,}361{,}7510)
V_s \approx 125{,}820{,}29 + j\,14{,}381{,}997\\ \text{V}\quad\text{(por fase)}.
Magnitude por fase:
|V_s|=\sqrt{125{,}820{,}29^2+14{,}381{,}997^2}\approx 126{,}631{,}66\\ \text{V}.
Ângulo de V_s (fase):
\theta_s=\arctan\!\left(\frac{14{,}381{,}997}{125{,}820{,}29}\right)\approx 6{,}538^\circ.
Tensão linha–linha de envio:
V_{LL,\text{env}}=\sqrt{3}\,|V_s|\approx 1{,}73205\cdot126{,}631{,}66\\ \text{V}\approx 219{,}398{,}2\\ \text{V}\approx 219{,}398\\ \text{V}.
Em unidades práticas:
V_{LL,\text{env}}\approx 219{,}40\\ \text{kV}.

Resposta

Tensão por fase no envio: \displaystyle V_{s,\text{ph}}\approx 126{,}632\\ \text{V}\angle 6{,}538^\circ (ou seja \approx 126{,}632\\ \text{kV} por fase).
Tensão linha–linha no envio: \displaystyle V_{LL,\text{env}}\approx 219{,}40\\ \text{kV}.

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