Uma linha de transmissão trifásica, 60 Hz , tem comprimento de 281,635 \mathrm{~km} ( 175 milhas), impedância série total de 0,35+j 140 \Omega e admitância shunt total de j 930 \times 10^{-6} \mathrm{~S}. A LT entrega 40 MW em 220 kV com fator de potência de 90 \% em atraso. Determinar a tensão no lado do envio por aproximação:
da equação de linha longa.
Passo 1
Enunciado e dados (o que pede e o que é fornecido):
Determinar a tensão no lado do envio (tensão de envio), usando a aproximação da equação de linha longa (usar o modelo de linha longa com as funções hiperbólicas, i.e., A=\operatorname{cosh}(\gamma l) e B=Z_c\operatorname{sinh}(\gamma l), e a relação V_s=AV_r+BI_r).
(Dados importantes listados para consulta na resolução.)
Passo 2
Escolha do método e fórmulas principais (explicação didática do que vamos usar):
Para uma linha longa com parâmetros distribuídos é usual usar as matrizes ABCD da linha:
\gamma=\sqrt{Z'Y'}\quad\text{(constante de propagação)},\qquad Z_c=\sqrt{\frac{Z'}{Y'}}\quad\text{(impedância característica)}.
Se forem dados os totais da linha Z_{\text{total}} e Y_{\text{total}} para todo o comprimento, podemos usar diretamente:
\gamma l = \sqrt{Z_{\text{total}}\,Y_{\text{total}}},\qquad Z_c=\sqrt{\frac{Z_{\text{total}}}{Y_{\text{total}}}}.
A tensão no envio por fase é dada por:
\boxed{V_s = A\,V_r + B\,I_r}
onde V_r e I_r são as grandezas por fase no lado de carga (recebimento). Vou explicar cada variável:
V_r: tensão fase (linha-neutro) no receptor — usamos V_{LL}/\sqrt{3}.
I_r: corrente de carga por fase; obtida a partir da potência aparente por fase S_{\text{ph}} por I_r=\dfrac{\overline{S_{\text{ph}}}}{V_r} (atenção: usar o conjugado para a relação S=V I^*, portanto I=\overline{S}/V).
Motivação do método: o enunciado pede “linha longa” — então usamos as expressões com \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} (modelo exato da linha longa). É a forma correta e prática quando os parâmetros são dados para toda a linha.
Passo 3
Converter grandezas trifásicas para per–fase e calcular a corrente da carga por fase (explicação passo a passo):
Interpretação: Z_c é majoritariamente real e grande (linha de alta tensão tem grande impedância característica real), com pequena componente reativa.
Passo 6
Calcular \operatorname{cosh}(\gamma l) e \operatorname{sinh}(\gamma l) (uso das fórmulas para argumentos complexos e explicação):
Para um número complexo u=a+jb,
Tensão por fase no envio: \displaystyle V_{s,\text{ph}}\approx 126{,}632\\ \text{V}\angle 6{,}538^\circ (ou seja \approx 126{,}632\\ \text{kV} por fase).
Tensão linha–linha no envio: \displaystyle V_{LL,\text{env}}\approx 219{,}40\\ \text{kV}.