\Upsilon - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,125 \mathrm{~m}^{-1} tem 10 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A corrente na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 1,54 A. Calcular:
b) a amplitude da tensão na carga. \quad V_{2: . .}=74 \dot{u} \mathrm{~V} \mathrm{~V}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
Impedância característica: Z_{0}=50\\ \Omega.
Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}.
Assim \alpha=\Re(\gamma)=0 e \beta=\Im(\gamma)=0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}.
Comprimento da linha: l=10\\ \mathrm{m}.
Carga na extremidade da linha: Z_{L}=100\\ \Omega.
Corrente na entrada da linha (amplitude — valor de pico): I_{\mathrm{in}}=1{,}54\\ \mathrm{A}.
O enunciado pede: calcular a amplitude da tensão na carga (ou seja, o valor de pico de V na carga), que chamarei de V_{L} (amplitude).
Passo 2
Explicação física e fórmula útil que vamos usar (passo-a-passo didático).
Numa linha de transmissão sem perdas (\alpha=0) podemos decompor os sinais em ondas progressiva e refletida:
onde V^{+} é a amplitude complexa da onda incidente (saindo da fonte em direção à carga) e V^{-} é a amplitude complexa da onda refletida (voltando da carga para a fonte). Aqui o eixo z está tomado com z=0 na entrada (gerador) e z=l na carga.
A reflexão na carga é dada pelo coeficiente de reflexão de tensão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Esse \Gamma_{L} relaciona as amplitudes das ondas no ponto z=l por
V^{-}(l)=\Gamma_{L}\,V^{+}(l).
Passo 3
Calcular o coeficiente de reflexão numérico (peguei Z_{L} e Z_{0} do enunciado):
Esta fórmula mostra como a amplitude da onda incidente V^{+} é determinada pela corrente de entrada I_{\mathrm{in}}, pela impedância característica Z_{0} e pela reflexão acumulada ao percorrer a linha (o fator e^{-2j\beta l}).
Passo 5
Expressar a tensão na carga V_{L} em função de V^{+}.
Agora substituímos V^{+} (do Passo 4) e, como queremos apenas a amplitude (valor de pico), vamos tomar módulo da expressão. Como |e^{-j\beta l}|=1, obtemos a relação simples e prática:
O coeficiente de reflexão positivo \Gamma_{L}=1/3 aumenta a tensão na carga em relação à onda incidente (fator 1+\Gamma_{L}=4/3), porém o denominador |1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}| representa a “interferência” entre ondas ao longo da linha (depende de \beta l) e reduz um pouco o ganho final. O cálculo numérico acima fornece a amplitude de pico de V na carga.