\Upsilon - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,125 \mathrm{~m}^{-1} tem 10 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A corrente na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 1,54 A. Calcular:
b) a amplitude da tensão na carga. \quad V_{2: . .}=74 \dot{u} \mathrm{~V} \mathrm{~V}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
  • Impedância característica: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}.
    Assim \alpha=\Re(\gamma)=0 e \beta=\Im(\gamma)=0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Comprimento da linha: l=10\\ \mathrm{m}.
  • Carga na extremidade da linha: Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Corrente na entrada da linha (amplitude — valor de pico): I_{\mathrm{in}}=1{,}54\\ \mathrm{A}.
O enunciado pede: calcular a amplitude da tensão na carga (ou seja, o valor de pico de V na carga), que chamarei de V_{L} (amplitude).

Passo 2

Explicação física e fórmula útil que vamos usar (passo-a-passo didático).
Numa linha de transmissão sem perdas ( \alpha=0) podemos decompor os sinais em ondas progressiva e refletida:
V(z)=V^{+}e^{-j\beta z}+V^{-}e^{j\beta z}, \qquad I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\bigl(V^{+}e^{-j\beta z}-V^{-}e^{j\beta z}\bigr),
onde V^{+} é a amplitude complexa da onda incidente (saindo da fonte em direção à carga) e V^{-} é a amplitude complexa da onda refletida (voltando da carga para a fonte). Aqui o eixo z está tomado com z=0 na entrada (gerador) e z=l na carga.
A reflexão na carga é dada pelo coeficiente de reflexão de tensão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Esse \Gamma_{L} relaciona as amplitudes das ondas no ponto z=l por
V^{-}(l)=\Gamma_{L}\,V^{+}(l).

Passo 3

Calcular o coeficiente de reflexão numérico (peguei Z_{L} e Z_{0} do enunciado):
\Gamma_{L}=\frac{100-50}{100+50}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\approx0{,}3333.
Observação: \Gamma_{L} é real positivo aqui (reflexão em fase).

Passo 4

Relacionar as ondas V^{+} e V^{-} no ponto da carga com as ondas na entrada.
Com z=0 na entrada e z=l na carga temos a condição no local da carga:
V^{-}= \Gamma_{L}\,V^{+} e^{-2j\beta l}.
Isto vem de escrever V^{+}e^{-j\beta l} e V^{-}e^{j\beta l} em z=l e resolver V^{-}(l)=\Gamma_{L}V^{+}(l).
Agora escrevemos as expressões em z=0 (entrada):
V_{\mathrm{in}}=V^{+}+V^{-}=V^{+}\bigl(1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr),
I_{\mathrm{in}}=\frac{1}{Z_{0}}\bigl(V^{+}-V^{-}\bigr)=\frac{V^{+}}{Z_{0}}\bigl(1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr).
Da segunda equação isolamos V^{+}:
V^{+}=Z_{0}\,I_{\mathrm{in}}\frac{1}{1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}}.
Esta fórmula mostra como a amplitude da onda incidente V^{+} é determinada pela corrente de entrada I_{\mathrm{in}}, pela impedância característica Z_{0} e pela reflexão acumulada ao percorrer a linha (o fator e^{-2j\beta l}).

Passo 5

Expressar a tensão na carga V_{L} em função de V^{+}.
No ponto z=l (na carga),
V_{L}=V^{+}e^{-j\beta l}+V^{-}e^{j\beta l}.
Usando V^{-}= \Gamma_{L}\,V^{+} e^{-2j\beta l} obtemos
V_{L}=V^{+}e^{-j\beta l}\bigl(1+\Gamma_{L}\bigr).
Agora substituímos V^{+} (do Passo 4) e, como queremos apenas a amplitude (valor de pico), vamos tomar módulo da expressão. Como |e^{-j\beta l}|=1, obtemos a relação simples e prática:
|V_{L}|=Z_{0}\,|I_{\mathrm{in}}|\;\frac{|1+\Gamma_{L}|}{\bigl|1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr|}.
Essa é a fórmula que vamos calcular numericamen­te: numerador conhecido e denominador depende de e^{-2j\beta l} (i.e. de \beta l).

Passo 6

Cálculo numérico passo-a-passo.
  1. Calcular \beta l:
\beta l = 0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}\times 10\\ \mathrm{m}=1{,}25\\ \text{rad}.
  1. Calcular e^{-2j\beta l}=e^{-j2{,}5}. Para isso preciso de \cos(2{,}5) e \sin(2{,}5). (estou pegando esses valores via cálculo numérico)
\cos(2{,}5)\approx -0{,}8011436,\qquad \sin(2{,}5)\approx 0{,}5984721.
Logo
e^{-2j\beta l}=e^{-j2{,}5}=\cos(2{,}5)-j\sin(2{,}5)\approx -0{,}8011436 - j\,0{,}5984721.
  1. Calcular o denominador complexo 1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l} com \Gamma_{L}=1/3:
1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}=1-\tfrac{1}{3}\bigl(-0{,}8011436 - j\,0{,}5984721\bigr).
Separando parte real e imaginária:
\Re=1-\tfrac{1}{3}(-0{,}8011436)=1+0{,}2670479=1{,}2670479,
\Im= -\tfrac{1}{3}(-0{,}5984721)=+0{,}1994907.
Portanto
1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\approx 1{,}2670479 + j\,0{,}1994907.
  1. Módulo do denominador:
\bigl|1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr|=\sqrt{(1{,}2670479)^{2}+(0{,}1994907)^{2}}\approx 1{,}28266.
  1. Módulo do numerador Z_{0}|I_{\mathrm{in}}|(1+\Gamma_{L}):
1+\Gamma_{L}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\approx1{,}333333,
Z_{0}\,I_{\mathrm{in}}=50\times 1{,}54=77,
\text{numerador}=77\times \tfrac{4}{3}\approx 102{,}6667.
  1. Finalmente o módulo da tensão na carga:
|V_{L}|=\frac{102{,}6667}{1{,}28266}\approx 80{,}03\\ \text{V}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O coeficiente de reflexão positivo \Gamma_{L}=1/3 aumenta a tensão na carga em relação à onda incidente (fator 1+\Gamma_{L}=4/3), porém o denominador |1-\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}| representa a “interferência” entre ondas ao longo da linha (depende de \beta l) e reduz um pouco o ganho final. O cálculo numérico acima fornece a amplitude de pico de V na carga.

Resposta

\,80{,}03\\ \mathrm{V}

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