Uma linha trifásica foi projetada para ter espaçamento simétrico com D=2,44 m. Decide-se construí-la com os condutores em um plano horizontal com Da c=2 Da b=2 Db c. Considerando que a linha tem transposição, determine, Da c, Da b e Db c de forma que a indutância da linha seja a mesma do projeto original (com espaçamento simétrico).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma linha trifásica que foi projetada com um espaçamento simétrico entre os condutores de $ D = 2,44 $ metros. Agora, a gente quer mudar esse arranjo para que os condutores fiquem todos no mesmo plano horizontal, mas com espaçamentos diferentes: $ D_{ac} = 2 D_{ab} = 2 D_{bc} $. Além disso, a linha tem transposição, o que ajuda a balancear as indutâncias. A missão é encontrar os valores de $ D_{ac} $, $ D_{ab} $ e $ D_{bc} $ de modo que a indutância total da linha permaneça a mesma do projeto original com espaçamento simétrico.
Vamos precisar entender:
  • Indutância de linhas trifásicas: como ela depende do espaçamento entre os condutores.
  • Geometric Mean Distance (GMD): uma maneira de calcular a distância efetiva entre os condutores para determinar a indutância.
  • Transposição: rearranjo dos condutores para equilibrar as indutâncias e reduzir interferências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a indutância de uma linha trifásica é calculada. A indutância por fase ($ L L âéâã D $), a indutância é dada por:
D é
Aqui, $ r $ é o raio dos condutores, mas como estamos mantendo $ r $ constante, podemos focar apenas no $ \ln(D) $.

Passo 3

Agora, quando os condutores têm espaçamentos diferentes, a indutância total depende do Product Empirical Distance (GMD), que é uma média geométrica das distâncias entre os condutores. A fórmula para o GMD em uma linha trifásica é:
GMD = raiz[3]Dab times Dbc times Dac
Queremos que a indutância da nova configuração seja igual à do arranjo simétrico original. Isso significa que o GMD da nova configuração deve ser igual a $ D $:
D

Passo 4

De acordo com o problema, temos as relações entre os espaçamentos:
Dac = 2 Dab e Dac = 2 Dbc
Isso implica que:
Dab = Dbc
Vamos chamar $ D_{ab} = D_{bc} = x $. Então, $ D_{ac} = 2x $.
Substituindo na fórmula do GMD:
Dab = Dbc = x
Queremos que isso seja igual a $ D = 2,44 $ m:
Dac = 2x

Passo 5

Vamos resolver para $ x $:
x
Agora, encontrando os demais espaçamentos:
x = 2,44raiz[3]2 approx 2,441,26 approx 1,9365 metros
Dab = x approx 1,9365 m
Dbc = x approx 1,9365 m

Resposta

Os espaçamentos necessários para manter a indutância da linha igual ao projeto original são aproximadamente:
Dab approx 1,94 metros
Dbc approx 1,94 metros
Dac approx 3,87 metros

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