Uma linha trifásica foi projetada para ter espaçamento simétrico com
. Decide-se construí-la com os condutores em um plano horizontal com
. Considerando que a linha tem transposição, determine,
e
de forma que a indutância da linha seja a mesma do projeto original (com espaçamento simétrico).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma linha trifásica que foi projetada com um espaçamento simétrico entre os condutores de $ D = 2,44 $ metros. Agora, a gente quer mudar esse arranjo para que os condutores fiquem todos no mesmo plano horizontal, mas com espaçamentos diferentes: $ D_{ac} = 2 D_{ab} = 2 D_{bc} $. Além disso, a linha tem transposição, o que ajuda a balancear as indutâncias. A missão é encontrar os valores de $ D_{ac} $, $ D_{ab} $ e $ D_{bc} $ de modo que a indutância total da linha permaneça a mesma do projeto original com espaçamento simétrico.
Vamos precisar entender:
- Indutância de linhas trifásicas: como ela depende do espaçamento entre os condutores.
- Geometric Mean Distance (GMD): uma maneira de calcular a distância efetiva entre os condutores para determinar a indutância.
- Transposição: rearranjo dos condutores para equilibrar as indutâncias e reduzir interferências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a indutância de uma linha trifásica é calculada. A indutância por fase ($ L
D $), a indutância é dada por:
Aqui, $ r $ é o raio dos condutores, mas como estamos mantendo $ r $ constante, podemos focar apenas no $ \ln(D) $.
Passo 3
Agora, quando os condutores têm espaçamentos diferentes, a indutância total depende do Product Empirical Distance (GMD), que é uma média geométrica das distâncias entre os condutores. A fórmula para o GMD em uma linha trifásica é:
Queremos que a indutância da nova configuração seja igual à do arranjo simétrico original. Isso significa que o GMD da nova configuração deve ser igual a $ D $:
Passo 4
De acordo com o problema, temos as relações entre os espaçamentos:
Isso implica que:
Vamos chamar $ D_{ab} = D_{bc} = x $. Então, $ D_{ac} = 2x $.
Substituindo na fórmula do GMD:
Queremos que isso seja igual a $ D = 2,44 $ m:
Passo 5
Vamos resolver para $ x $:
Agora, encontrando os demais espaçamentos:
Resposta
Os espaçamentos necessários para manter a indutância da linha igual ao projeto original são aproximadamente: