Um líquido é aquecido de 0,0^{\circ} \mathrm{C} a 50,0^{\circ} \mathrm{C}, verificando-se na escala do frasco de vidro que volume passa de 500,0 \mathrm{~cm}^{3} para 525,0 \mathrm{~cm}^{3}. Sendo \gamma_{\text {frasco }}=10^{-50} \mathrm{C}^{-1}, determine o coeficiente de dilatação real do líquido.

Passo 1

O enunciado diz que um líquido, inicialmente a 0,0^\circ\mathrm{C}, ocupa V_0=500,0\cm^3 e, ao ser aquecido a 50,0^\circ\mathrm{C}, a leitura no frasco passa para 525,0\cm^3. O coeficiente de dilatação volumétrica do vidro é \gamma_{\mathrm{frasco}}=10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Queremos achar o coeficiente de dilatação volumétrica real \beta_{\mathrm{líquido}}í do líquido, levando em conta que o recipiente também dilata.

Passo 2

Quando o líquido dilata dentro de um recipiente que também se expande, a variação aparente de volume \Delta V_{\mathrm{app}} atende
\Delta V_{\mathrm{app}} = \Delta V_{\mathrm{líquido}} - \Delta V_{\mathrm{frasco}},í
onde \Delta V_{\mathrm{líquido}}=V_0\,\beta_{\mathrm{real}}\,\Delta Tí e \Delta V_{\mathrm{frasco}}=V_0\,\gamma\,\Delta T. Daí segue a relação clássica
\beta_{\mathrm{real}} = \beta_{\mathrm{app}} + \gamma,
com
\beta_{\mathrm{app}}=\frac{\Delta V_{\mathrm{app}}}{V_0\,\Delta T}.

Passo 3

Calcular o coeficiente aparente \beta_{\mathrm{app}}. Temos
\Delta V_{\mathrm{app}} = 525,0 - 500,0 = 25,0\cm^3,
\Delta T = 50,0 - 0,0 = 50,0\;^\circ\mathrm{C},
\beta_{\mathrm{app}} = \frac{25,0}{500,0 \times 50,0} = 1,0 \times 10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Agora somamos \gamma_{\mathrm{frasco}} para obter o coeficiente real do líquido:
\beta_{\mathrm{real}} = \beta_{\mathrm{app}} + \gamma_{\mathrm{frasco}} = 1,0\times10^{-3} + 1,0\times10^{-5} = 1,01\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

\displaystyle \beta_{\mathrm{líquido}} = 1,01\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.í

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