Numa indústria química deseja-se medir a vazão volumétrica de ar que escoa num tubo 76 mm de diâmetro interno. Resolve-se utilizar um medidor do tipo placa de orifício com diâmetro do orifício igual a 55 mm . Utilizando a equação de Bernoulli para fluidos ideais, estabeleça uma expressão para a vazão de ar em função dos parâmetros geométricos do sistema, das propriedades do ar e do fluido manométrico (água) e da altura de coluna de água apresentada num manômetro do tipo U acoplado à placa. Uma vez que o equacionamento desenvolvido através da equação de Bernoulli não considera as perdas de energia do fluido pela ação do atrito, é necessário calibrar a placa, isto é, calcular o seu coeficiente de descarga na faixa de velocidades estudada. Os seguintes resultados foraa obtidos para a velocidade do ar no centro do tubo, a uma distância apreciável da placa de orifício, utilizando um anemômetro de fio quente:
v
(\mathrm{m} / \mathrm{s})
10,4
13,8
16,9
19,2
24,6
28,0
29,7
33,7
35,3
36,8
37,0
h
(\mathrm{cm})
4,4.
7,9
12,4
15,4
24,6
32,8
36,0
46,4
50,9
55,1
55,5
Comparando os resultados de velocidade real com os estabelecidos através da equação de Bernoulli, estabeleça o valor do coeficiente de descarga ( \mathrm{C}_{\mathrm{d}} ) para a placa de orifício no intervalo estudado. Considere que o ar escoa em regime de turbulência plena (perfil empistonado de velocidades) e que as condições de trabalho são de 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir, usando a equação de Bernoulli para fluidos ideais, uma expressão para a vazão volumétrica de ar em função dos parâmetros geométricos da placa (diâmetro do tubo e do orifício), das propriedades do ar e do fluido manométrico (água) e da altura h medida no manômetro em U; (2) comparar as velocidades reais medidas com as previstas pela expressão ideal para determinar o coeficiente de descarga C_d da placa no intervalo experimental.
Dados fornecidos e constantes de trabalho que usaremos (tudo listado):
Diâmetro interno do tubo: D=76\\ \text{mm}=0{,}076\\ \text{m}.
Diâmetro do orifício: d=55\\ \text{mm}=0{,}055\\ \text{m}.
Relação geométrica: \beta=\dfrac{d}{D}.
Medições (velocidade no centro do tubo, distante da placa, e altura do manômetro em cm):
\{h\}=\{4{,}4,\\\ 7{,}9,\\\ 12{,}4,\\\ 15{,}4,\\\ 24{,}6,\\\ 32{,}8,\\\ 36{,}0,\\\ 46{,}4,\\\ 50{,}9,\\\ 55{,}1,\\\ 55{,}5\}\\ \text{cm} (vou converter para metros quando necessário).
Condições de trabalho: 1\\ \text{atm} e 25^\circ\text{C}. Para estas condições tomaremos as densidades: densidade da água (fluido do manômetro) \rho_m \approx 997\\ \text{kg/m}^3 e densidade do ar \rho_a \approx 1{,}184\\ \text{kg/m}^3. A gravidade será g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Objetivo final quantitativo: calcular C_d a partir da razão entre as velocidades medidas e as velocidades ideais previstas pela equação de Bernoulli aplicada ao orifício.
Passo 2
Relação entre a diferença de pressões atravessando a placa e a altura do manômetro em U.
Explicação física e derivação curta: o manômetro em U contém água de densidade \rho_m. Ligando um ramo ao ponto de pressão p_1 (antes da placa) e o outro ramo ao ponto de pressão p_2 (após a placa), a diferença de pressão p_1-p_2 provoca uma diferença de níveis h do fluido manométrico. Seguindo uma linha de equilíbrio hidrostático entre pontos ao mesmo nível no fluido manométrico e lembrando que as colunas superiores são ocupadas por ar de densidade \rho_a, obtemos a relação padrão para manômetro diferencial:
p_1-p_2 = (\rho_m-\rho_a)\,g\,h.
Como \rho_a é muito menor que \rho_m, em prática costuma-se aproximar \,p_1-p_2\approx \rho_m g h, mas manterei \rho_m-\rho_a nas fórmulas para maior rigôr.
Passo 3
Continuidade + Bernoulli entre a seção “1” antes da placa (tubo) e a seção “2” atravessando o orifício (vena contracta assumida no orifício). Primeiro, áreas e relação geométrica:
Observação: esta é a velocidade média no tubo distante da placa prevista por Bernoulli (ideal). A vazão volumétrica ideal correspondente é Q_{\text{ideal}}=A_1 v_{1,\text{ideal}}. Também podemos reescrever Q_{\text{ideal}}=A_2\sqrt{\dfrac{2(p_1-p_2)}{\rho_a(1-\beta^4)}} (pois A_2=A_1\beta^2).
Passo 4
Substituindo a expressão do passo 2 (p_1-p_2=(\rho_m-\rho_a)gh) na fórmula de v_{1,\text{ideal}} obtemos a versão em função de h:
Explicação prática: isto mostra que, para o modelo ideal, a velocidade média no tubo é proporcional à raiz quadrada de h: v_{1,\text{ideal}}\propto\sqrt{h}.
Para relacionar com o que medimos: a velocidade real medida v_{\text{med}} deve ser menor do que v_{1,\text{ideal}} por perdas e efeitos de não-idealidade; define-se o coeficiente de descarga C_d por
K \approx 0{,}524134\times 150{,}90 \approx 79{,}11\\ \text{(m/s)}/\sqrt{\text{m}}.
Logo a expressão numérica usada será
\boxed{\,v_{1,\text{ideal}}(h)\approx 79{,}11\sqrt{h}\quad\text{(com \(h\) em metros)}\,.}
Passo 7
Calcular v_{1,\text{ideal}} e C_d para cada par (v_{\text{med}},h). Vou converter h para metros e usar v_{1,\text{ideal}}=79{,}11\sqrt{h}. Para cada ponto faço: \sqrt{h}, v_{1,\text{ideal}}, C_d=v_{\text{med}}/v_{1,\text{ideal}}.
Observação didática: os cálculos mostram que C_d é relativamente estável (valores próximos entre si), o que é esperado numa faixa onde o regime e as características do orifício não mudam muito.
Passo 8
Cálculo do valor representativo de C_d: média e dispersão dos valores calculados. Valores obtidos (aprox.): \{0{,}626,\\\ 0{,}621,\\\ 0{,}607,\\\ 0{,}619,\\\ 0{,}627,\\\ 0{,}618,\\\ 0{,}626,\\\ 0{,}626,\\\ 0{,}625,\\\ 0{,}627,\\\ 0{,}628\}.
Média aritmética:
\overline{C_d}\approx 0{,}623.
Desvio padrão amostral calculado (passo a passo numérico omisso aqui para não alongar demais) dá aproximadamente
s\approx 0{,}006.
Interpretação prática: no intervalo de velocidades estudado o coeficiente de descarga para a placa experimental vale cerca de 0{,}623 com variação típica da ordem de \pm0{,}006.