Numa indústria química deseja-se medir a vazão volumétrica de ar que escoa num tubo 76 mm de diâmetro interno. Resolve-se utilizar um medidor do tipo placa de orifício com diâmetro do orifício igual a 55 mm . Utilizando a equação de Bernoulli para fluidos ideais, estabeleça uma expressão para a vazão de ar em função dos parâmetros geométricos do sistema, das propriedades do ar e do fluido manométrico (água) e da altura de coluna de água apresentada num manômetro do tipo U acoplado à placa. Uma vez que o equacionamento desenvolvido através da equação de Bernoulli não considera as perdas de energia do fluido pela ação do atrito, é necessário calibrar a placa, isto é, calcular o seu coeficiente de descarga na faixa de velocidades estudada. Os seguintes resultados foraa obtidos para a velocidade do ar no centro do tubo, a uma distância apreciável da placa de orifício, utilizando um anemômetro de fio quente:
v
(\mathrm{m} / \mathrm{s})
10,4 13,8 16,9 19,2 24,6 28,0 29,7 33,7 35,3 36,8 37,0
h
(\mathrm{cm})
4,4. 7,9 12,4 15,4 24,6 32,8 36,0 46,4 50,9 55,1 55,5
Comparando os resultados de velocidade real com os estabelecidos através da equação de Bernoulli, estabeleça o valor do coeficiente de descarga ( \mathrm{C}_{\mathrm{d}} ) para a placa de orifício no intervalo estudado. Considere que o ar escoa em regime de turbulência plena (perfil empistonado de velocidades) e que as condições de trabalho são de 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir, usando a equação de Bernoulli para fluidos ideais, uma expressão para a vazão volumétrica de ar em função dos parâmetros geométricos da placa (diâmetro do tubo e do orifício), das propriedades do ar e do fluido manométrico (água) e da altura h medida no manômetro em U; (2) comparar as velocidades reais medidas com as previstas pela expressão ideal para determinar o coeficiente de descarga C_d da placa no intervalo experimental.
Dados fornecidos e constantes de trabalho que usaremos (tudo listado):
  • Diâmetro interno do tubo: D=76\\ \text{mm}=0{,}076\\ \text{m}.
  • Diâmetro do orifício: d=55\\ \text{mm}=0{,}055\\ \text{m}.
  • Relação geométrica: \beta=\dfrac{d}{D}.
  • Medições (velocidade no centro do tubo, distante da placa, e altura do manômetro em cm):
    • \{v_{\text{med}}\}=\{10{,}4,\\\ 13{,}8,\\\ 16{,}9,\\\ 19{,}2,\\\ 24{,}6,\\\ 28{,}0,\\\ 29{,}7,\\\ 33{,}7,\\\ 35{,}3,\\\ 36{,}8,\\\ 37{,}0\}\\ \text{m/s}.
    • \{h\}=\{4{,}4,\\\ 7{,}9,\\\ 12{,}4,\\\ 15{,}4,\\\ 24{,}6,\\\ 32{,}8,\\\ 36{,}0,\\\ 46{,}4,\\\ 50{,}9,\\\ 55{,}1,\\\ 55{,}5\}\\ \text{cm} (vou converter para metros quando necessário).
  • Condições de trabalho: 1\\ \text{atm} e 25^\circ\text{C}. Para estas condições tomaremos as densidades: densidade da água (fluido do manômetro) \rho_m \approx 997\\ \text{kg/m}^3 e densidade do ar \rho_a \approx 1{,}184\\ \text{kg/m}^3. A gravidade será g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
    Objetivo final quantitativo: calcular C_d a partir da razão entre as velocidades medidas e as velocidades ideais previstas pela equação de Bernoulli aplicada ao orifício.

Passo 2

Relação entre a diferença de pressões atravessando a placa e a altura do manômetro em U.
Explicação física e derivação curta: o manômetro em U contém água de densidade \rho_m. Ligando um ramo ao ponto de pressão p_1 (antes da placa) e o outro ramo ao ponto de pressão p_2 (após a placa), a diferença de pressão p_1-p_2 provoca uma diferença de níveis h do fluido manométrico. Seguindo uma linha de equilíbrio hidrostático entre pontos ao mesmo nível no fluido manométrico e lembrando que as colunas superiores são ocupadas por ar de densidade \rho_a, obtemos a relação padrão para manômetro diferencial:
p_1-p_2 = (\rho_m-\rho_a)\,g\,h.
Como \rho_a é muito menor que \rho_m, em prática costuma-se aproximar \,p_1-p_2\approx \rho_m g h, mas manterei \rho_m-\rho_a nas fórmulas para maior rigôr.

Passo 3

Continuidade + Bernoulli entre a seção “1” antes da placa (tubo) e a seção “2” atravessando o orifício (vena contracta assumida no orifício). Primeiro, áreas e relação geométrica:
A_1=\frac{\pi D^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi d^2}{4},\qquad \beta=\frac{d}{D}\quad\Rightarrow\quad \frac{A_2}{A_1}=\beta^2.
Continuidade: \,A_1 v_1 = A_2 v_2, logo
v_2 = \frac{A_1}{A_2}v_1 = \frac{1}{\beta^2} v_1.
Aplicando Bernoulli (fluido ideal, mesma elevação, sem trabalho nem perda) entre as seções 1 e 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho_a v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho_a v_2^2.
Subtraindo e usando v_2 em função de v_1:
p_1-p_2 = \tfrac{1}{2}\rho_a\big(v_2^2-v_1^2\big)=\tfrac{1}{2}\rho_a v_1^2\left(\frac{1}{\beta^4}-1\right).
Isolando v_1 (velocidade média no tubo, ideal segundo Bernoulli):
v_{1,\text{ideal}}^2 = \frac{2(p_1-p_2)}{\rho_a\left(\dfrac{1}{\beta^4}-1\right)} = \frac{2(p_1-p_2)\beta^4}{\rho_a(1-\beta^4)}.
Portanto
\boxed{\,v_{1,\text{ideal}} = \beta^2\,\sqrt{\dfrac{2(p_1-p_2)}{\rho_a(1-\beta^4)}}\,.}
Observação: esta é a velocidade média no tubo distante da placa prevista por Bernoulli (ideal). A vazão volumétrica ideal correspondente é Q_{\text{ideal}}=A_1 v_{1,\text{ideal}}. Também podemos reescrever Q_{\text{ideal}}=A_2\sqrt{\dfrac{2(p_1-p_2)}{\rho_a(1-\beta^4)}} (pois A_2=A_1\beta^2).

Passo 4

Substituindo a expressão do passo 2 ( p_1-p_2=(\rho_m-\rho_a)gh) na fórmula de v_{1,\text{ideal}} obtemos a versão em função de h:
\boxed{\,v_{1,\text{ideal}}(h)=\beta^2\sqrt{\dfrac{2(\rho_m-\rho_a)\,g\,h}{\rho_a(1-\beta^4)}}\,.}
Explicação prática: isto mostra que, para o modelo ideal, a velocidade média no tubo é proporcional à raiz quadrada de h: v_{1,\text{ideal}}\propto\sqrt{h}.
Para relacionar com o que medimos: a velocidade real medida v_{\text{med}} deve ser menor do que v_{1,\text{ideal}} por perdas e efeitos de não-idealidade; define-se o coeficiente de descarga C_d por
\boxed{\,v_{\text{med}} = C_d\, v_{1,\text{ideal}} \quad\Rightarrow\quad C_d=\dfrac{v_{\text{med}}}{v_{1,\text{ideal}}}\,.}
Alternativamente Q_{\text{real}}=C_d Q_{\text{ideal}}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente os parâmetros geométricos e constantes que entram em v_{1,\text{ideal}}(h).
  • \beta=\dfrac{d}{D}=\dfrac{0{,}055}{0{,}076}= \dfrac{55}{76}. Em decimal:
\beta \approx 0{,}7236842105.
  • \beta^2=\dfrac{55^2}{76^2}=\dfrac{3025}{5776}\approx 0{,}524134.
  • \beta^4=\left(\beta^2\right)^2\approx 0{,}274713.
    Constantes usadas: \rho_m=997\\ \text{kg/m}^3,\\ \rho_a=1{,}184\\ \text{kg/m}^3,\\ g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Para otimizar os cálculos, escrevemos v_{1,\text{ideal}}(h)=K\sqrt{h} e calculamos K numericamente:
K = \beta^2\sqrt{\dfrac{2(\rho_m-\rho_a)g}{\rho_a(1-\beta^4)}}.
Substituindo os números:
\rho_m-\rho_a = 997 - 1{,}184 = 995{,}816\\ \text{kg/m}^3,
1-\beta^4 \approx 1-0{,}274713 = 0{,}725287,
\text{então }K \approx 0{,}524134\sqrt{\dfrac{2\cdot 995{,}816\cdot 9{,}81}{1{,}184\cdot 0{,}725287}}.ã
Calculando a raiz:
\sqrt{\dfrac{2\cdot 995{,}816\cdot 9{,}81}{1{,}184\cdot 0{,}725287}}\approx 150{,}90,
portanto
K \approx 0{,}524134\times 150{,}90 \approx 79{,}11\\ \text{(m/s)}/\sqrt{\text{m}}.
Logo a expressão numérica usada será
\boxed{\,v_{1,\text{ideal}}(h)\approx 79{,}11\sqrt{h}\quad\text{(com \(h\) em metros)}\,.}

Passo 7

Calcular v_{1,\text{ideal}} e C_d para cada par (v_{\text{med}},h). Vou converter h para metros e usar v_{1,\text{ideal}}=79{,}11\sqrt{h}. Para cada ponto faço: \sqrt{h}, v_{1,\text{ideal}}, C_d=v_{\text{med}}/v_{1,\text{ideal}}.
  1. h=4{,}4\\ \text{cm}=0{,}044\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}20976, v_{1,\text{ideal}}=79{,}11\cdot0{,}20976\approx16{,}60\\ \text{m/s}.
    C_d=\dfrac{10{,}4}{16{,}60}\approx0{,}626.
  2. h=7{,}9\\ \text{cm}=0{,}079\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}28109, v_{1,\text{ideal}}\approx22{,}24\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{13{,}8}{22{,}24}\approx0{,}621.
  3. h=12{,}4\\ \text{cm}=0{,}124\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}35199, v_{1,\text{ideal}}\approx27{,}85\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{16{,}9}{27{,}85}\approx0{,}607.
  4. h=15{,}4\\ \text{cm}=0{,}154\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}392, v_{1,\text{ideal}}\approx31{,}01\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{19{,}2}{31{,}01}\approx0{,}619.
  5. h=24{,}6\\ \text{cm}=0{,}246\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}496, v_{1,\text{ideal}}\approx39{,}23\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{24{,}6}{39{,}23}\approx0{,}627.
  6. h=32{,}8\\ \text{cm}=0{,}328\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}5726, v_{1,\text{ideal}}\approx45{,}30\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{28{,}0}{45{,}30}\approx0{,}618.
  7. h=36{,}0\\ \text{cm}=0{,}360\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}6000, v_{1,\text{ideal}}\approx47{,}47\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{29{,}7}{47{,}47}\approx0{,}626.
  8. h=46{,}4\\ \text{cm}=0{,}464\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}6809, v_{1,\text{ideal}}\approx53{,}86\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{33{,}7}{53{,}86}\approx0{,}626.
  9. h=50{,}9\\ \text{cm}=0{,}509\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}7135, v_{1,\text{ideal}}\approx56{,}45\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{35{,}3}{56{,}45}\approx0{,}625.
  10. h=55{,}1\\ \text{cm}=0{,}551\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}7423, v_{1,\text{ideal}}\approx58{,}73\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{36{,}8}{58{,}73}\approx0{,}627.
  11. h=55{,}5\\ \text{cm}=0{,}555\\ \text{m}: \sqrt{h}=0{,}74498, v_{1,\text{ideal}}\approx58{,}96\\ \text{m/s}.
    C_d\approx\dfrac{37{,}0}{58{,}96}\approx0{,}628.
Observação didática: os cálculos mostram que C_d é relativamente estável (valores próximos entre si), o que é esperado numa faixa onde o regime e as características do orifício não mudam muito.

Passo 8

Cálculo do valor representativo de C_d: média e dispersão dos valores calculados. Valores obtidos (aprox.):
\{0{,}626,\\\ 0{,}621,\\\ 0{,}607,\\\ 0{,}619,\\\ 0{,}627,\\\ 0{,}618,\\\ 0{,}626,\\\ 0{,}626,\\\ 0{,}625,\\\ 0{,}627,\\\ 0{,}628\}.
Média aritmética:
\overline{C_d}\approx 0{,}623.
Desvio padrão amostral calculado (passo a passo numérico omisso aqui para não alongar demais) dá aproximadamente
s\approx 0{,}006.
Interpretação prática: no intervalo de velocidades estudado o coeficiente de descarga para a placa experimental vale cerca de 0{,}623 com variação típica da ordem de \pm0{,}006.

Resposta

C_d \approx 0{,}623 \pm 0{,}006

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