Lista de Exercícios № 5 11) Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
c) entre 516 e 814 horas.

Passo 1

O enunciado diz que temos 1000 lâmpadas cuja duração X segue distribuição normal com média \mu=800 h e desvio padrão \sigma=100 h. Precisamos calcular quantas lâmpadas vão durar entre 516 h e 814 h. O conteúdo envolvido é cálculo de probabilidade em distribuição normal, usando padronização (pontuação Z) e tabela da normal.

Passo 2

Modelamos X\sim N(\mu,\sigma^2) com \mu=800 e \sigma=100. A probabilidade de interesse é
P(516 < X < 814).
Para usar a tabela da normal, vamos padronizar essa variável.

Passo 3

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 800}{100},
que segue Z\sim N(0,1). Então os limites ficam
Z_1 = \frac{516 - 800}{100} = -2{,}84, \quad Z_2 = \frac{814 - 800}{100} = 0{,}14.

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos as probabilidades acumuladas:
\Phi(0{,}14) \approx 0{,}5557, \quad \Phi(-2{,}84) = 1 - \Phi(2{,}84) \approx 1 - 0{,}9977 = 0{,}0023.
Assim
P(516 < X < 814) = \Phi(0{,}14) - \Phi(-2{,}84) \approx 0{,}5557 - 0{,}0023 = 0{,}5534.

Passo 5

Como são 1000 lâmpadas, o número esperado que dura nesse intervalo é
1000 \times 0{,}5534 = 553{,}4.
Não faz sentido ter fração de lâmpada, então arredondamos para 553.

Resposta

553 lâmpadas.

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