Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right) X+\binom{\csc t}{\operatorname{sec} t} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo
X' = A\,X + F(t),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]-\tfrac12 & 1\end{pmatrix}, \quad F(t) = e^t\begin{pmatrix}\csc t\\[4pt]\operatorname{sec} t\end{pmatrix}.
O método é variação de parâmetros: primeiro achamos a matriz fundamental \Phi(t) do sistema homogêneo X'=AX, depois buscamos uma solução particular da forma X_p=\Phi(t)u(t).]

Passo 2

Resolvendo o homogêneo X'=AX por autovalores, a equação característica é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2+1=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=1\pm i.
Um autovetor para \lambda=1+i é v=[-2i,\;1]^T. Então uma solução complexa é
y(t)=e^{(1+i)t}v,
cuja parte real e imaginária geram duas soluções reais linearesmente independentes. Podemos escolher como base
\phi_1(t)=e^t\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}, \qquad \phi_2(t)=e^t\begin{pmatrix}-2\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.
Assim a matriz fundamental é
\Phi(t)=\bigl[\phi_1(t)\;\;\phi_2(t)\bigr] =e^t \begin{pmatrix} 2\sin t & -2\cos t\\[4pt] \cos t & \sin t \end{pmatrix}.]

Passo 3

Pela variação de parâmetros, procuramos
X_p(t)=\Phi(t)\,u(t),
onde u(t) satisfaz
u'(t)=\Phi(t)^{-1}F(t).
Então calculamos \Phi^{-1}(t) e multiplicamos por F(t).

Passo 4

O determinante da parte trigonométrica de \Phi(t) é
\det\begin{pmatrix}2\sin t & -2\cos t\\[4pt]\cos t & \sin t\end{pmatrix} =2(\sin^2t+\cos^2t)=2.
Como \det\Phi(t)=e^{2t}\cdot2, obtemos
\Phi(t)^{-1} =\frac1{2e^{2t}} \begin{pmatrix} \sin t & 2\cos t\\[4pt] -\cos t & 2\sin t \end{pmatrix}.]

Passo 5

Logo
u'(t) =\Phi^{-1}(t)\,F(t) =\frac1{2e^{2t}} \begin{pmatrix} \sin t & 2\cos t\\[4pt] -\cos t & 2\sin t \end{pmatrix} \;e^t \begin{pmatrix}\csc t\\[4pt]\operatorname{sec} t\end{pmatrix} =\frac1{2e^t} \begin{pmatrix} \sin t\cdot\csc t +2\cos t\cdot\operatorname{sec} t\\[4pt] -\cos t\cdot\csc t +2\sin t\cdot\operatorname{sec} t \end{pmatrix}.
Simplificando \sin t\cdot\csc t=1 e \cos t\cdot\operatorname{sec} t=1, vem
u'(t) =\frac1{2e^t} \begin{pmatrix} 1+2\\[4pt] -\cot t+2\tan t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{3}{2}e^{-t}\\[8pt] \displaystyle \frac{1}{2}e^{-t}\bigl(-\cot t+2\tan t\bigr) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Integramos componente a componente:
u_1(t)=\int \frac{3}{2}e^{-t}\,dt =-\frac{3}{2}e^{-t},
u_2(t)=\int \frac{1}{2}e^{-t}\bigl(-\cot t+2\tan t\bigr)\,dt \quad\text{(fica em forma de integral)}.

Passo 7

A solução particular é
X_p(t)=\Phi(t)\,u(t) =e^t \begin{pmatrix} 2\sin t & -2\cos t\\[4pt] \cos t & \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2}e^{-t}\\[6pt] \displaystyle u_2(t) \end{pmatrix}.
Multiplicando,
X_p(t) =\begin{pmatrix} -3\sin t -2e^t\cos t\,u_2(t)\\[6pt] -\tfrac{3}{2}\cos t + e^t\sin t\,u_2(t) \end{pmatrix},
onde u_2(t)=\tfrac12\displaystyle\int e^{-t}(-\cot t+2\tan t)\,dt.]

Passo 8

A solução geral do sistema é
X(t)=X_h(t)+X_p(t) =C_1\,\phi_1(t)+C_2\,\phi_2(t)+X_p(t),
isto é
X(t) =C_1\,e^t\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} +C_2\,e^t\begin{pmatrix}-2\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -3\sin t -2e^t\cos t\,u_2(t)\\[6pt] -\tfrac{3}{2}\cos t + e^t\sin t\,u_2(t) \end{pmatrix},
com
u_2(t)=\frac12\int e^{-t}\bigl(-\cot t+2\tan t\bigr)\,dt.]

Resposta

\boxed{ X(t) =C_1\,e^t\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} +C_2\,e^t\begin{pmatrix}-2\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3\sin t -2e^t\cos t\,u_2(t)\\[6pt] -\tfrac{3}{2}\cos t + e^t\sin t\,u_2(t) \end{pmatrix} },
onde
u_2(t)=\frac12\int e^{-t}\bigl(-\cot t+2\tan t\bigr)\,dt.]

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