Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right) X+\binom{\csc t}{\operatorname{sec} t} e^{t}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo
O método é variação de parâmetros: primeiro achamos a matriz fundamental \Phi(t) do sistema homogêneo X'=AX, depois buscamos uma solução particular da forma X_p=\Phi(t)u(t).]
Passo 2
Resolvendo o homogêneo X'=AX por autovalores, a equação característica é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2+1=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=1\pm i.
Um autovetor para \lambda=1+i é v=[-2i,\;1]^T. Então uma solução complexa é
y(t)=e^{(1+i)t}v,
cuja parte real e imaginária geram duas soluções reais linearesmente independentes. Podemos escolher como base