Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) X+\binom{0}{\operatorname{sec} t \tan t}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema não-homogêneo da forma
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf f(t),
onde
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}, \quad \mathbf f(t) = \begin{pmatrix}0\\\ \operatorname{sec} t\tan t\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com variação de parâmetros: primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo e sua matriz fundamental \Phi(t), depois usamos
\mathbf X_p(t) = \Phi(t)\,\int \Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t)\,\mathrm dt.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo \mathbf X' = A\,\mathbf X, percebemos que A gera rotações. Duas soluções principais são
\mathbf x_1(t) = \begin{pmatrix}\cos t\\\\ -\sin t\end{pmatrix}, \quad \mathbf x_2(t) = \begin{pmatrix}\sin t\\\ \cos t\end{pmatrix}.
Logo a matriz fundamental (com \Phi(0)=I) é
\Phi(t) = \begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t\end{pmatrix}.

Passo 3

Para a variação de parâmetros precisamos de \Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t). Como \Phi é ortogonal, \Phi^{-1}(t)=\Phi^T(t). Então
\Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t) = \begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\\ \sin t & \cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ \operatorname{sec} t\tan t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tan^2 t\\\ \tan t\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora integramos o vetor
\int \begin{pmatrix}-\tan^2 t\\\ \tan t\end{pmatrix} \mathrm dt.
Usamos \tan^2 t = \operatorname{sec}^2 t -1. Assim
\int -\tan^2 t\,dt = -\int(\operatorname{sec}^2 t - 1)\,dt = -(\tan t - t) = t - \tan t,
\int \tan t\,dt = -\ln\lvert\cos t\rvert.
Portanto
\int \Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t)\,dt = \begin{pmatrix}t - \tan t\\\\ -\ln\lvert\cos t\rvert\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução particular é
\mathbf{X}_p(t) = \Phi(t)\, \begin{pmatrix}t - \tan t\\\\ -\ln\lvert\cos t\rvert\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t\,(t-\tan t) - \sin t\,\ln\lvert\cos t\rvert\\[6pt] -\sin t\,(t-\tan t) - \cos t\,\ln\lvert\cos t\rvert \end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
\mathbf X(t) = \Phi(t)\,\mathbf C + \mathbf X_p(t),
onde \mathbf C=(C_1,C_2)^T são constantes arbitrárias.

Resposta

\mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[3pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_1\\\ C_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \cos t\,(t-\tan t) - \sin t\,\ln\lvert\cos t\rvert\\[6pt] -\sin t\,(t-\tan t) - \cos t\,\ln\lvert\cos t\rvert \end{pmatrix}.]

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