Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right) X+\binom{\csc t}{\operatorname{sec} t} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo
X' = A\,X + b(t),\quad A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-\tfrac12 & 1\end{pmatrix},\quad b(t)=\begin{pmatrix}\csc t\\[4pt]\operatorname{sec} t\end{pmatrix}e^t
usando variação de parâmetros. O conteúdo é resolução de sistemas lineares com matriz constante e termo forçante, e vamos precisar de: (i) solução geral do homogêneo X'=AX via exponencial matricial, (ii) fórmula de variação de parâmetros X_p=\Phi(t)\!\int\!\Phi^{-1}(t)b(t)\,dt.]

Passo 2

Note que
A = I + N,\quad N = \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-\tfrac12 & 0\end{pmatrix},
e verifica-se
N^2 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} = -I.
Assim
e^{tA} = e^{t(I+N)} = e^t\,e^{tN},
e, como N^2=-I, temos
e^{tN} = I\cos t + N\sin t.]

Passo 3

O fundamental do homogêneo fica
\Phi(t) = e^t\bigl(I\cos t + N\sin t\bigr) = e^t \begin{pmatrix} \cos t & 2\sin t\\[4pt] -\tfrac12\sin t & \cos t \end{pmatrix}.]

Passo 4

O inverso é dado por
\Phi^{-1}(t) = e^{-t}\bigl(I\cos t - N\sin t\bigr) = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t & -2\sin t\\[4pt] \tfrac12\sin t & \cos t \end{pmatrix},
pois \det\bigl(I\cos t + N\sin t\bigr)=\cos^2t+\sin^2t=1.]

Passo 5

Pela variação de parâmetros,
X_p(t) = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\,b(t)\,dt.
Calculamos primeiro
\Phi^{-1}(t)\,b(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t & -2\sin t\\[4pt] \tfrac12\sin t & \cos t \end{pmatrix} \;e^t \begin{pmatrix}\csc t\\[4pt]\operatorname{sec} t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t\,\csc t -2\sin t\,\operatorname{sec} t\\[4pt] \tfrac12\sin t\,\csc t + \cos t\,\operatorname{sec} t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cot t -2\tan t\\[4pt] \tfrac12 +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cot t -2\tan t\\[4pt] \tfrac32 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Integramos componente a componente:
\int\bigl(\cot t -2\tan t\bigr)dt =\ln\lvert\sin t\rvert +2\ln\lvert\cos t\rvert =\ln\bigl\lvert\sin t\cos^2t\bigr\rvert, \quad \int\tfrac32\,dt = \tfrac32\,t.
Logo um vetor primitivo é
\displaystyle u(t)=\begin{pmatrix} \ln\lvert\sin t\cos^2t\rvert\\[4pt] \tfrac32\,t \end{pmatrix},
e
X_p(t) = \Phi(t)\,u(t) = e^t \begin{pmatrix} \cos t & 2\sin t\\[4pt] -\tfrac12\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ln\lvert\sin t\cos^2t\rvert\\[4pt] \tfrac32\,t \end{pmatrix}.]

Resposta

A solução geral é a soma da homogênea e da particular:
X(t) = C_1\,e^t\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]-\tfrac12\sin t\end{pmatrix} + C_2\,e^t\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} + e^t\begin{pmatrix} \cos t\,\ln\lvert\sin t\cos^2t\rvert \;+\;3t\,\sin t\\[6pt] -\tfrac12\sin t\,\ln\lvert\sin t\cos^2t\rvert \;+\;\tfrac32\,t\,\cos t \end{pmatrix}.]

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