Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) X+\left( \begin{array}{c}e^{t} \\ e^{2 t} \\ t e^{3 t}\end{array}\right)

Passo 1

O sistema não homogêneo é
X' = A\,X + f(t),
com
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix}, \quad f(t) = \begin{pmatrix}e^{t} \\[3pt] e^{2t} \\[3pt] t\,e^{3t}\end{pmatrix}.
Vamos usar variação de parâmetros, o que exige:
  1. Encontrar uma matriz fundamental \Psi(t) do sistema homogêneo X' = A\,X.
  2. Calcular \Psi^{-1}(t)\,f(t).
  3. Integrar componente a componente e montar a solução particular.]

Passo 2

Resolvendo o homogêneo X'=A\,X, notamos que A é bloco-diagonal em 2×2 e 1×1.
– Na parte 2×2 \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} os autovalores são \lambda_1=2 (autovetor (1,1)) e \lambda_2=0 (autovetor (1,-1)).
– Na coordenada z isolada surge \lambda_3=3 com autovetor (0,0,1).
Logo uma matriz fundamental é
\Psi(t) = \bigl[\,\phi_1(t)\;\;\phi_2(t)\;\;\phi_3(t)\bigr]
com
\phi_1(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}e^{2t}, \quad \phi_2(t) = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad \phi_3(t) = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{3t}.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, a solução geral é
X(t) = \Psi(t)\,C + \Psi(t)\int \Psi^{-1}(t)\,f(t)\,dt,
onde C é o vetor de constantes arbitrárias.

Passo 4

Precisamos de \Psi^{-1}(t)\,f(t). Como o terceiro eixo está separado, basta inverter o bloco 2×2
M(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&1\\[3pt]e^{2t}&-1\end{pmatrix}, \quad \det M=-2e^{2t},
de modo que
M^{-1}=\frac1{-2e^{2t}}\begin{pmatrix}-1&-1\\[3pt]-e^{2t}&e^{2t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac1{2e^{2t}}&\tfrac1{2e^{2t}}\\[4pt]\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}.
Aplicando em \bigl(e^t,\;e^{2t}\bigr)^T e na terceira componente:
u_1(t)=\frac{1}{2e^{2t}}\bigl(e^t+e^{2t}\bigr)=\frac{e^{-t}+1}{2}, \quad u_2(t)=\frac12\bigl(e^t-e^{2t}\bigr), \quad u_3(t)=e^{-3t}\bigl(t\,e^{3t}\bigr)=t.]

Passo 5

Integramos cada u_i(t):
I_1(t)=\int u_1(t)\,dt =\int\Bigl(\tfrac{e^{-t}}2+\tfrac12\Bigr)dt =-\tfrac{e^{-t}}2+\tfrac t2,
I_2(t)=\int u_2(t)\,dt =\int\Bigl(\tfrac{e^t}2-\tfrac{e^{2t}}2\Bigr)dt =\tfrac{e^t}2-\tfrac{e^{2t}}4,
I_3(t)=\int t\,dt =\tfrac{t^2}{2}.
(Desprezamos constantes de integração, pois entram em C.)

Passo 6

A solução particular é
X_p(t)=\Psi(t)\begin{pmatrix}I_1(t)\\[3pt]I_2(t)\\[3pt]I_3(t)\end{pmatrix} =I_1(t)\,\phi_1(t)+I_2(t)\,\phi_2(t)+I_3(t)\,\phi_3(t).
Escrevendo em componentes (x_p,y_p,z_p):
x_p = e^{2t}I_1 + I_2 = e^{2t}\Bigl(-\tfrac{e^{-t}}2+\tfrac t2\Bigr) +\Bigl(\tfrac{e^t}2-\tfrac{e^{2t}}4\Bigr) = e^{2t}\,\frac{2t-1}{4},
y_p = e^{2t}I_1 - I_2 = e^{2t}\Bigl(-\tfrac{e^{-t}}2+\tfrac t2\Bigr) -\Bigl(\tfrac{e^t}2-\tfrac{e^{2t}}4\Bigr) = -\,e^t + e^{2t}\,\frac{2t+1}{4},
z_p = e^{3t}\,I_3 = e^{3t}\,\frac{t^2}{2}.]

Resposta

A solução geral é
X(t) = C_1\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}e^{2t} + C_2\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\\[3pt]0\end{pmatrix} + C_3\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix}e^{3t} +\begin{pmatrix} e^{2t}\,\dfrac{2t-1}{4} \\[8pt] -\,e^{t} + e^{2t}\,\dfrac{2t+1}{4} \\[8pt] e^{3t}\,\dfrac{t^2}{2} \end{pmatrix},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.]

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