Integre:
\int\left(2 x \operatorname{sec} ^{2} 3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado nos apresenta a integral
\int 2x \operatorname{sec}^2(3x)\,dx
e pede que encontremos uma primitiva. Aqui vamos usar integração por partes, pois o integrando é o produto de 2x por \operatorname{sec}^2(3x).

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = 2x, \quad dv = \operatorname{sec}^2(3x)\,dx.
Então
du = 2\,dx
e
v = \int \operatorname{sec}^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x),
pois a derivada de \tan(3x) é 3\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int 2x \operatorname{sec}^2(3x)\,dx = u\,v - \int v\,du = 2x\cdot\frac{1}{3}\tan(3x) - \int \frac{1}{3}\tan(3x)\cdot 2\,dx.
Isso dá
\frac{2x}{3}\tan(3x) - \frac{2}{3}\int \tan(3x)\,dx.

Passo 5

Calculamos \displaystyle \int \tan(3x)\,dx. Sabemos que
\int \tan(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|.
Substituindo,
-\frac{2}{3}\int \tan(3x)\,dx = -\frac{2}{3}\Bigl(-\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\Bigr) = \frac{2}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|.

Passo 6

Somando tudo, a primitiva fica
\frac{2x}{3}\tan(3x) + \frac{2}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr| + C.

Resposta

\frac{2x}{3}\tan(3x) + \frac{2}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr| + C.

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