Lista de Exercícios de Ciência dos Materiais - Difusão e Diagramas de Equilíbrio
Prof. Pedro Augusto de Paula Nascente - UFSCar/ DEMa e PPG-CEM
Uma liga ferro-carbono com estrutura cristalina CFC , contendo inicialmente 0,20% p de carbono, é cementada (carbonetada) a uma temperatura elevada e numa atmosfera onde a concentração de carbono na superfície é mantida em 1% p. Se após 49,5 horas a concentração de carbono é de 0,35% p em uma posição a 4,0 mm abaixo da superfície, determine a temperatura na qual o tratamento foi realizado. São dados: D0=2,3 times 10^-5 m^2 / s e Qd=148 kJ/mol.
Tabulação de Valores da Função Erro
z erf(z) z erf(z) z erf(z)
0 0 0,55 0,5633 1,3 0,9340
0,025 0,0282 0,60 0,6039 1,4 0,9523
0,05 0,0564 0,65 0,6420 1,5 0,9661
0,10 0,1125 0,70 0,6778 1,6 0,9763
0,15 0,1680 0,75 0,7112 1,7 0,9838
0,20 0,2227 0,80 0,7421 1,8 0,9891
0,25 0,2763 0,85 0,7707 1,9 0,9928
0,30 0,3286 0,90 0,7970 2,0 0,9953
0,35 0,3794 0,95 0,8209 2,2 0,9981
0,40 0,4284 1,0 0,8427 2,4 0,9993
0,45 0,4755 1,1 0,8802 2,6 0,9998
0,50 0,5205 1,2 0,9103 2,8 0,9999

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos uma liga ferro-carbono (CFC) com 0,20 % p de carbono inicialmente e, durante um processo de cementação, a superfície fica com 1 % p de C. Depois de 49,5 h, a 4,0 mm da superfície, a concentração é 0,35 % p. Queremos achar a temperatura do tratamento.
Conteúdo: difusão unidimensional em semi-espaço com concentração de superfície constante e cinética de difusividade tipo Arrhenius. Vamos precisar da solução de difusão usando função erro e da equação .

Passo 2

Teoria da difusão em semi-espaço com C(x,t);=;Cs ;-;(Cs - C0);erf!gl(x2raizD,tgr), constante:
A solução da equação de difusão é
onde
  • erf(z);=;Cs - C(x,t)Cs - C0, z = x2raizD,t = concentração inicial (0,20 % p),
  • = concentração na superfície (1,00 % p),
  • = profundidade (4,0 mm = m),
  • = tempo (49,5 h = s),
  • = coeficiente de difusão a achar.
Reorganizando para isolar :

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
Vamos achar erf(z) ;=;1,00 - 0,351,00 - 0,20 ;=;0,650,80 ;=;0,8125 na tabela de : entre e .

Passo 4

Interpolando rapidamente:
z approx 0,90 + 0,8125-0,79700,8209-0,7970,(0,95-0,90) ;approx;0,93

Passo 5

Com z = x2raizD,t ;Longrightarrow; raizD,t = x2,z ;Longrightarrow; D = x^24,z^2,t , temos
x = 4,0times10^-3,m, t = 49,5times3600,s,
Numericamente,
D = (4,0times10^-3)^24,(0,93)^2,(49,5times3600) approx 2,6times10^-11,m^2/s

Passo 6

Agora a dependência de D = D0 exp!l(-QdR,Tr), vem de
lnDD0 = -QdR,T ;Longrightarrow; T = -QdR,ln(D/D0)
com ln2,6times10^-112,3times10^-5 approx -13,70 ;Longrightarrow; T = 148,0008,314;times;13,70 approx1299;K , e .
Substituindo:

Resposta

A temperatura do tratamento é, aproximadamente, 1 300 K (≈ 1 027 °C).

Exercícios relacionados