• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (8) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+y} d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,e^{x+y}\,.
  • Os limites de integração para y são de 0 a 1 e para x também de 0 a 1.
  • Trata-se de uma integral iterada (primeiro integra-se em y, depois em x).

Passo 2

Entendendo o que fazer: numa integral iterada \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx a variável de integração interna (aqui y) é tratada como a variável ativa e a outra (aqui x) é vista como constante enquanto se integra em y. Então, para começar vamos calcular
\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy
tratando \,x\, como constante durante essa integração.
Explicando a técnica usada:
  • Regra básica: \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}, logo uma primitiva de e^{y} é e^{y}.
  • Se uma função é da forma C\cdot g(y) com C constante em relação a y, então \int C\cdot g(y)\,dy = C\int g(y)\,dy. Aqui e^{x} é constante em relação a y.

Passo 3

Calcular a integral interna passo a passo:
\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy = \int_{0}^{1} e^{x}e^{y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{1} e^{y}\,dy.
Agora a primitiva de e^{y} é e^{y}, então
e^{x}\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = e^{x}\bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1} = e^{x}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = e^{x}\bigl(e-1\bigr).

Passo 4

Agora integramos em x o resultado encontrado (que depende de x):
\int_{0}^{1} \bigl(e^{x}(e-1)\bigr)\,dx = (e-1)\int_{0}^{1} e^{x}\,dx,
pois (e-1) é constante em relação a x. A primitiva de e^{x} é e^{x}, então
(e-1)\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = (e-1)\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = (e-1)\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = (e-1)(e-1).

Passo 5

Resultado final do cálculo e observação alternativa: multiplicando os fatores obtemos (e-1)(e-1)=(e-1)^{2}.
Observação prática (atalho que é útil na prova): como e^{x+y}=e^{x}e^{y} e os limites formam um retângulo [0,1]\times[0,1], a integral dupla separa-se em produto de integrais simples:
\left(\int_{0}^{1} e^{x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} e^{y}\,dy\right)=(e-1)^{2},
o que confirma o resultado.

Resposta

(e-1)^{2}

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