- LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(8)
;
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(8)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração para
são de a e para também de a . - Trata-se de uma integral iterada (primeiro integra-se em
, depois em ).
Passo 2
Entendendo o que fazer: numa integral iterada
a variável de integração interna (aqui
) é tratada como a variável ativa e a outra (aqui
) é vista como constante enquanto se integra em
. Então, para começar vamos calcular
tratando
como constante durante essa integração.
Explicando a técnica usada:
- Regra básica:
, logo uma primitiva de é . - Se uma função é da forma
com constante em relação a , então . Aqui é constante em relação a .
Passo 3
Calcular a integral interna passo a passo:
Agora a primitiva de
é
, então
Passo 4
Agora integramos em
o resultado encontrado (que depende de
):
pois
é constante em relação a
. A primitiva de
é
, então
Passo 5
Resultado final do cálculo e observação alternativa: multiplicando os fatores obtemos
.
Observação prática (atalho que é útil na prova): como
e os limites formam um retângulo
, a integral dupla separa-se em produto de integrais simples:
o que confirma o resultado.