- LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(C)
;
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(C)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla iterada
Informações importantes dadas:
- A variável de integração interna é
, com . - A variável de integração externa é
, com . - O integrando é
, que depende somente de (não depende de ).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Quando a integral interna é em relação a
e o integrando não depende de
, vale a propriedade simples:
pois
é constante em relação a
. Aplicando isso à integral interna:
Passo 3
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, a dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Para resolver
vamos usar a substituição padrão para radicais envolvendo
. Defina
Diferenciando, obtemos
Também trocamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 5
Fazendo a mudança de variável na integral:
Passo 6
Agora integramos
. A fórmula de potência para antiderivadas é
Aqui
, logo a antiderivada é
. Assim,
Podemos simplificar as potências:
portanto a expressão fica
Passo 7
(se quiser uma aproximação numérica rápida:)
logo a integral vale aproximadamente