• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (C) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \sqrt{9+x^{2}} d y d x;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{9+x^{2}}\;dy\;dx.
Informações importantes dadas:
  • A variável de integração interna é y, com \;0\le y\le x.
  • A variável de integração externa é x, com \;0\le x\le 1.
  • O integrando é \sqrt{9+x^{2}}, que depende somente de x (não depende de y).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Quando a integral interna é em relação a y e o integrando não depende de y, vale a propriedade simples:
\int_{a}^{b} f(x)\;dy = f(x)\,(b-a),
pois f(x) é constante em relação a y. Aplicando isso à integral interna:
\int_{0}^{x}\sqrt{9+x^{2}}\;dy = \sqrt{9+x^{2}}\cdot (x-0) = x\,\sqrt{9+x^{2}}.

Passo 3

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, a dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{9+x^{2}}\;dx.

Passo 4

Para resolver \int_{0}^{1} x\,\sqrt{9+x^{2}}\;dx vamos usar a substituição padrão para radicais envolvendo x^{2}. Defina
u = 9 + x^{2}.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\;dx \quad\Rightarrow\quad x\;dx = \frac{1}{2}\,du.
Também trocamos os limites: quando x=0 temos u=9; quando x=1 temos u=10.

Passo 5

Fazendo a mudança de variável na integral:
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{9+x^{2}}\;dx = \int_{u=9}^{u=10} \sqrt{u}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{9}^{10} u^{1/2}\;du.

Passo 6

Agora integramos u^{1/2}. A fórmula de potência para antiderivadas é
\int u^{n}\;du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{para }n\neq -1).
Aqui n=\tfrac{1}{2}, logo a antiderivada é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim,
\frac{1}{2}\int_{9}^{10} u^{1/2}\;du = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{9}^{10} = \frac{1}{3}\bigl(10^{3/2}-9^{3/2}\bigr).
Podemos simplificar as potências:
10^{3/2}=10\sqrt{10},\qquad 9^{3/2}=27,
portanto a expressão fica
\frac{1}{3}\bigl(10\sqrt{10}-27\bigr).

Passo 7

(se quiser uma aproximação numérica rápida:)
10\sqrt{10}\approx 31{,}6227766,\qquad 10\sqrt{10}-27\approx 4{,}6227766,
logo a integral vale aproximadamente
\frac{1}{3}\cdot 4{,}6227766\approx 1{,}5409255.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(10\sqrt{10}-27\bigr)

Exercícios relacionados