1. 5^a Lista de MAT 140 - Cálculo I 2019/II
  2. Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.
    (a) f(x)=x^2-2 x
    (b) f(x)=x^3-2 x^2+x-1
    © f(x)=x^2x+1
    (d) f(x)=raizx-2

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de cada função usando a definição de derivada: f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h. Vamos precisar dominar o conceito de limite e saber manipular expressões algébricas, incluindo expansão de polinômios e racionalização de radicais.

Passo 2

Para (a) seja f(x)=x^2-2x. Calculamos:
f(x+h)=(x+h)^2-2(x+h)=x^2+2xh+h^2-2x-2h
Então o quociente de diferença é
f(x+h)-f(x)h=(x^2+2xh+h^2-2x-2h)-(x^2-2x)h=2xh+h^2-2hh=2x+h-2
Tomando hto0 obtemos f'(x)=2x-2.

Passo 3

Para (b) seja f(x)=x^3-2x^2+x-1. Primeiro expandimos:
f(x+h)=(x+h)^3-2(x+h)^2+(x+h)-1
Expansão completa e subtração de f(x) leva a um termo comum h:
f(x+h)-f(x)h=3x^2-4x+1+3xh-2h+h^2
Fazendo hto0 sobra f'(x)=3x^2-4x+1.

Passo 4

Para © seja f(x)=x^2x+1. Aplicamos
f(x+h)-f(x)h=(x+h)^2x+1+h-x^2x+1h
Colocando sobre denominador comum e expandindo, o numerador fatoriza em h, que cancela com o /h. No limite hto0 vem
$$
f’(x)=\frac{x2+2x}{(x+1)2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$$.

Passo 5

Para (d) seja f(x)=raizx-2. O quociente de diferença é
raizx-2+h-raizx-2h
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado e simplificamos:
hhl(raizx-2+h+raizx-2r)=1raizx-2+h+raizx-2
Fazendo hto0 f'(x)=12raizx-2.

Resposta

As derivadas são:
(a) f'(x)=2x-2
(b) f'(x)=3x^2-4x+1
© f'(x)=dfracx(x+2)(x+1)^2
(d) f'(x)=dfrac12raizx-2

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