(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral I=integral f(x) d x, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica: x=5 tan theta3. No decorrer das contas, ele concluiu que I=theta+sen(4 theta)4+C em que C é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
© I=arctan (5 x3)+x-25 x^3(25+9 x^2)^2+C

Passo 1

O enunciado diz que, para calcular I=integral f(x),dx, o aluno fez a substituição trigonométrica x=tfrac53tantheta e obteve em função de theta que
I=theta+sin(4theta)4+C
Precisamos então voltar para a variável x usando as relações de tangente e as identidades trigonométricas.

Passo 2

Da substituição x=tfrac53tantheta vem
tantheta=3x5, theta=arctanl(3x5r)

Passo 3

Usando a identidade
sin(4theta)=4tanthetal(1-tan^2thetar)l(1+tan^2thetar)^2
e colocando tantheta=3x/5, obtemos
sin(4theta) =4,(3x/5)l(1-(3x/5)^2r)l(1+(3x/5)^2r)^2 =60x,(25-9x^2)l(25+9x^2r)^2
e, dividindo por 4,
sin(4theta)4 =15x,(25-9x^2)l(25+9x^2r)^2

Passo 4

Substituindo de volta em I=theta+sin(4theta)/4+C, chega-se a
I=arctanl(3x5r) +15x,(25-9x^2)l(25+9x^2r)^2+C
Essa é a forma final em função de x.

Resposta

I=\arctan\bigl(\tfrac{3x}{5}\bigr)+\frac{15x,(25-9x2)}{(25+9x2)^2}+C

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