- ( 1,5 pontos) Resolva as equações via redução de ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem
x y’’ – 2 y’ – 9 x^5 y = 0
usando redução de ordem, sabendo que uma solução é y₁ = e^{x³}.
x y’’ – 2 y’ – 9 x^5 y = 0
usando redução de ordem, sabendo que uma solução é y₁ = e^{x³}.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0 dividindo tudo por x (supondo x ≠ 0):
Assim, identificamos
Passo 3
Para aplicar redução de ordem, lembramos a fórmula:
Ou seja, precisamos de e^{-∫P dx} e do quadrado de y₁.
Passo 4
Calculamos primeiro
então
$$e^{-\int P(x)dx} = e^{-(-2\ln|x|)} = e^{2\ln|x|} = x^2.
$$
Passo 5
Agora montamos a integral para y₂:
Passo 6
Para calcular
, fazemos a substituição
$$u = -2x^3,\quad du = -6x^2dx \implies x^2dx = -\tfrac{1}{6}du.
\int x^2 e{-2x3}dx = -\tfrac{1}{6} \int e^{u}du = -\tfrac{1}{6}e^{u} + C = -\tfrac{1}{6}e{-2x3} + C.
y_2 = e{x3} \Bigl(-\tfrac{1}{6}e{-2x3}\Bigr) = -\tfrac{1}{6}e{-x3},
$$
o que é equivalente (até constante) a y₂ = e{-x3}.
o que é equivalente (até constante) a y₂ = e{-x3}.
Passo 7
Como y₁ = e{x3} e y₂ = e{-x3} são independentes, a solução geral fica
Resposta
y(x) = C_{1}e{x3} + C_{2}e{-x3}