1. ( 1,5 pontos) Resolva as equações via redução de ordem:
    x y^prime prime-2 y^prime-9 x^5 y=0 ; y1=e^x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem
x y’’ – 2 y’ – 9 x^5 y = 0
usando redução de ordem, sabendo que uma solução é y₁ = e^{x³}.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0 dividindo tudo por x (supondo x ≠ 0):
y'' - 2xy' - 9x^4y = 0
Assim, identificamos
P(x) = -2x, Q(x) = -9x^4

Passo 3

Para aplicar redução de ordem, lembramos a fórmula:
y2 = y1 integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx
Ou seja, precisamos de e^{-∫P dx} e do quadrado de y₁.

Passo 4

Calculamos primeiro
integral P(x),dx = integral l(-2xr)dx = -2ln|x|,
então
$$e^{-\int P(x)dx} = e^{-(-2\ln|x|)} = e^{2\ln|x|} = x^2.
$$

Passo 5

Agora montamos a integral para y₂:
y2 = e^x^3 integral x^2(e^x^3)^2,dx = e^x^3 integral x^2 e^-2x^3,dx

Passo 6

Para calcular integral x^2 e^-2x^3dx, fazemos a substituição
$$u = -2x^3,\quad du = -6x^2dx \implies x^2dx = -\tfrac{1}{6}du.
u = -2x^3, du = -6x^2dx implies x^2dx = -tfrac16du
\int x^2 e{-2x3}dx = -\tfrac{1}{6} \int e^{u}du = -\tfrac{1}{6}e^{u} + C = -\tfrac{1}{6}e{-2x3} + C.
integral x^2 e^-2x^3dx = -tfrac16 integral e^udu = -tfrac16e^u + C = -tfrac16e^-2x^3 + C
y_2 = e{x3} \Bigl(-\tfrac{1}{6}e{-2x3}\Bigr) = -\tfrac{1}{6}e{-x3},
$$
o que é equivalente (até constante) a y₂ = e{-x3}.

Passo 7

Como y₁ = e{x3} e y₂ = e{-x3} são independentes, a solução geral fica
y(x) = C1 e^x^3 + C2 e^-x^3

Resposta

y(x) = C_{1}e{x3} + C_{2}e{-x3}

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