Liste três propriedades de um grupo que são preservadas por um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para listar três propriedades de um grupo que continuam iguais quando a gente aplica um isomorfismo. Estamos falando de Teoria de Grupos, uma área da álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e o que é um isomorfismo entre grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de identidade, existência de inversos e associatividade. Agora, um isomorfismo de grupos é uma função entre dois grupos que é bijetora (ou seja, tem uma correspondência um-a-um e cobre todo o conjunto) e que preserva a operação do grupo.

Passo 3

A primeira propriedade que um isomorfismo preserva é a estrutura da operação. Isso significa que se você tem dois elementos no primeiro grupo cuja operação dá um terceiro elemento, os correspondentes no segundo grupo vão respeitar a mesma relação.

Passo 4

A segunda propriedade preservada é a ordem dos elementos. A ordem de um elemento é o menor número de vezes que você precisa aplicar a operação para voltar à identidade. Um isomorfismo garante que elementos com a mesma ordem no primeiro grupo terão correspondentes com a mesma ordem no segundo grupo.

Passo 5

A terceira propriedade é a estrutura dos subgrupos. Se você tem um subgrupo (um conjunto menor que também é um grupo) no primeiro grupo, o isomorfismo vai mapear esse subgrupo para um subgrupo correspondente no segundo grupo, mantendo todas as suas características.

Resposta

Três propriedades de um grupo preservadas por um isomorfismo são:
  1. A estrutura da operação do grupo.
  2. A ordem dos elementos.
  3. A estrutura dos subgrupos.

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