(Livi, 2017) Em uma tubulação horizontal de diâmetro constante ocorre um escoamento de água em regime permanente. Desprezando as trocas de calor com a vizinhança e considerando que o atrito viscoso causa uma queda de pressão \Delta \mathrm{p}= 85.000 Pa e um aumento da energia interna do escoamento entre duas seções, determine a variação de temperatura da água entre essas duas seções. Considere que a
variação da energia interna, por unidade de massa, é dada por \Delta u=c . \Delta T e que o calor específico da água é c =4200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de temperatura entre duas seções de uma tubulação horizontal com escoamento permanente, sabendo que há uma queda de pressão causada por atrito e que não há troca de calor com o entorno. Informações e dados fornecidos ou necessários:
  • Queda de pressão entre as seções: \Delta p = 85{.}000\\ \mathrm{Pa}.
  • A variação da energia interna por unidade de massa é dada por \Delta u = c\cdot\Delta T.
  • Calor específico da água: c = 4200\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • A tubulação é horizontal e de diâmetro constante (logo, desprezamos variação de energia cinética e de potencial gravitacional entre as seções).
  • Não há trocas de calor com a vizinhança (adiabático).
  • O enunciado não fornece a densidade da água; usarei a densidade típica da água líquida à temperatura ambiente: \rho = 1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}. (Não foi possível perguntar — esta é a suposição padrão.)

Passo 2

Conceito físico e equação de energia (explicação didática):
  • Pense em um pequeno “pacote” de fluido que se desloca da seção 1 para a seção 2. As forças de pressão fazem trabalho sobre esse pacote: na entrada o fluido é empurrado com uma pressão maior e na saída sai sob pressão menor. A diferença de trabalho por unidade de massa entregue pelas forças de pressão é \dfrac{p_1}{\rho}-\dfrac{p_2}{\rho}=\dfrac{p_1-p_2}{\rho}=\dfrac{\Delta p}{\rho}.
  • Como o escoamento é permanente, horizontal e de diâmetro constante, podemos considerar que as energias cinética e potencial não mudam entre as seções (mesma velocidade e mesma cota). Também não há calor trocado com o ambiente. O trabalho realizado pelas forças de pressão que não aparece como variação de energia mecânica é dissipado por atrito viscoso e aparece como aumento da energia interna do fluido.
  • Assim, por balanço de energia por unidade de massa, a variação de energia interna é igual à energia cedida pelas forças de pressão por unidade de massa:
\Delta u=\frac{\Delta p}{\rho}.
  • Como foi dado \Delta u=c\cdot\Delta T, podemos igualar:
c\cdot\Delta T=\frac{\Delta p}{\rho}.
  • Isolando \Delta T:
\Delta T=\frac{\Delta p}{\rho\;c}.
Explicação das variáveis:
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou graus Celsius; para variações, 1\\ \mathrm{K}=1^\circ\mathrm{C}).
  • \Delta p é a queda de pressão entre as seções (em pascal).
  • \rho é a densidade da água (em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}).
  • c é o calor específico da água (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).
  • A unidade resulta corretamente: \dfrac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}}=\mathrm{K}.

Passo 3

Agora aplicamos os valores numéricos (usando \rho=1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}):
\Delta T=\frac{\Delta p}{\rho\;c}=\frac{85{.}000\\ \mathrm{Pa}}{(1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3})\cdot(4200\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1})}.
Calcule o denominador:
\rho\;c = 1000 \times 4200 = 4{.}200{.}000\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Agora a razão:
\Delta T=\frac{85{.}000}{4{.}200{.}000}\\ \mathrm{K}\approx 0{,}020238\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma prática:
\Delta T\approx 0{,}0202\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Interpretação final e comentário encorajador:
  • O resultado mostra que, mesmo com uma queda de pressão relativamente grande ( 85\\ \mathrm{kPa}), o aquecimento devido à dissipação viscosa da água é muito pequeno: cerca de 2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{K}. Ou seja, a temperatura sobe apenas algumas centésimas de grau Celsius entre as seções.
  • É normal esse efeito ser pequeno porque a água tem calor específico grande ( 4200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}), ou seja, precisa de muita energia para aumentar sua temperatura.
  • Bom trabalho até aqui — esse tipo de raciocínio (usar balanço de energia por unidade de massa e relacionar pressão/densidade/energia) é muito útil em provas. Você consegue!

Resposta

\Delta T \approx 0{,}0202\\ \mathrm{K}

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