Questão 6 - O cárter de um automóvel tem aproximadamente 0,80 \mathrm{~m} de comprimento, 0,30 \mathrm{~m} de largura e 0,10 \mathrm{~m} de altura. Admitindo-se que a temperatura superficial do cárter seja de 70^{\circ} \mathrm{C}, estimar o calor transmitido por unidade de tempo, do cárter para o ar atmosférico, que se acha a 10^{\circ} \mathrm{C}, para a mínima velocidade em que o regime de escoamento do fluido é turbulento em toda a superfície do cárter.
Propriedades do ar a 40^{\circ} \mathrm{C}: \rho=1,091 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=0,241 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mu=1,91 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=0,71 \mathrm{e} \mathrm{k}=0,0234 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
Pergunta: estimar o calor transmitido por unidade de tempo do cárter para o ar, quando a velocidade do ar é a mínima que garante regime turbulento em toda a superfície do cárter.\n
Dados (retirei diretamente do enunciado):\n
A geometria do cárter (assumido retangular): comprimento L_x=0,80\\ \mathrm{m}, largura L_y=0,30\\ \mathrm{m} e altura L_z=0,10\\ \mathrm{m}.\n
Temperaturas: superfície do cárter T_s=70^\circ\mathrm{C} e ar ambiente T_\infty=10^\circ\mathrm{C}.\n
Propriedades do ar (avaliadas a 40^\circ\mathrm{C}, fornecidas): densidade \rho=1,091\\ \mathrm{kg/m^3}, calor específico \displaystyle c_p=0,241\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}, viscosidade dinâmica \mu=1,91\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}, número de Prandtl \mathrm{Pr}=0,71 e condutividade térmica k=0,0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot^\circ C)}.\n
Observação importante (já relevante para a resolução): é preciso determinar a velocidade mínima V tal que o escoamento sobre o comprimento característico do cárter seja totalmente turbulento, e então estimar o coeficiente convectivo h e o fluxo térmico \dot Q = h A (T_s-T_\infty).\n

Passo 2

Definições e decisões metodológicas (passo didático).\n
  1. Para saber quando o escoamento é turbulento usamos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L:\n
Re_L=\frac{\rho V L}{\mu},\n
onde \rho é a densidade do fluido, V a velocidade livre, L o comprimento característico e \mu a viscosidade dinâmica.\n
2) Transição laminar→turbulento para escoamento sobre placa plana costuma ocorrer em torno de Re_{crit}\approx 5\times10^{5} (valor clássico usado em engenharia). Vou usar esse valor para garantir que o regime seja turbulento em toda a superfície.\n
3) Escolha do comprimento característico: para garantir turbulência em toda a superfície escolho L igual ao maior comprimento do cárter, isto é L=0,80\\ \mathrm{m}. (Se o escoamento tivesse outra orientação, usaríamos o comprimento na direção do escoamento; aqui assumimos que o escoamento “varre” a face de comprimento 0{,}80\\ \mathrm{m}.)\n
4) Para o coeficiente convectivo médio numa placa com escoamento turbulento sobre todo o comprimento usamos a correlação empírica média:\n
Nu_L = 0{,}037\, Re_L^{4/5}\, Pr^{1/3},\n
que vale para Re_L\gtrsim5\times10^{5} e para números de Prandtl na faixa próxima de ar. Aqui Nu_L é o número de Nusselt médio definido por\n
Nu_L=\frac{h L}{k},\n
onde h é o coeficiente convectivo médio e k a condutividade térmica do ar.\n
Essas são as fórmulas que vou usar. Agora calculo a velocidade mínima.

Passo 3

Calcular a velocidade mínima V_{\min} exigida para Re_L=Re_{crit}=5\times10^{5}.\n
Da definição de Re_L:\n
V_{\min}=\frac{Re_{crit}\,\mu}{\rho\,L}.\n
Substituindo os valores (todos em unidades SI): \mu=1{,}91\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}, \rho=1{,}091\\ \mathrm{kg/m^3}, L=0{,}80\\ \mathrm{m} e Re_{crit}=5\times10^{5}:\n
V_{\min}=\frac{5\times10^{5}\times 1{,}91\times10^{-5}}{1{,}091\times 0{,}80}.\n
Faço as contas passo a passo:\n
Numerador: 5\times10^{5}\times 1{,}91\times10^{-5}=9{,}55.\n
Denominador: 1{,}091\times 0{,}80=0{,}8728.\n
Logo\n
V_{\min}=\frac{9{,}55}{0{,}8728}\approx 10{,}94\\ \mathrm{m/s}.\n
Interpretação: uma velocidade de cerca de 11\\ \mathrm{m/s} garante, segundo o critério adotado, que o escoamento seja turbulento ao longo de L=0{,}80\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora calculo o número de Nusselt médio usando Re_L=5\times10^{5} e \mathrm{Pr}=0{,}71. A correlação é\n
Nu_L=0{,}037\,Re_L^{4/5}\,Pr^{1/3}.\n
Preciso avaliar Re_L^{4/5} e Pr^{1/3}.\n

Passo 5

Cálculo numérico de Nu_L.\n
Avalio Re_L^{4/5}:\n
Re_L^{4/5}=(5\times10^{5})^{4/5}\approx 3{,}62\times10^{4}.\n
Avalio Pr^{1/3}:\n
Pr^{1/3}=(0{,}71)^{1/3}\approx 0{,}8925.\n
Multiplicando:\n
Nu_L=0{,}037\times 3{,}62\times10^{4}\times 0{,}8925\approx 1{,}20\times10^{3}.\n
Mais precisamente, Nu_L\approx 1{,}196\times10^{3} (arredondando razoavelmente).

Passo 6

Passo importante: converter k para unidades SI (porque usei fórmulas em SI).\n
Dado k=0{,}0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot^\circ C)}. Como 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, temos\n
k = 0{,}0234\cdot\frac{4184}{3600}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \approx 0{,}0272\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.\n
Agora posso obter h pela definição do número de Nusselt médio.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo médio h:\n
h=\frac{Nu_L\,k}{L}.\n
Substituindo Nu_L\approx 1{,}196\times10^{3}, k\approx 0{,}0272\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e L=0{,}80\\ \mathrm{m}:\n
h\approx \frac{1{,}196\times10^{3}\times 0{,}0272}{0{,}80}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\approx 40{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.\n
Interpretação: o coeficiente convectivo médio é da ordem de 4\times 10^{1}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, valor típico para convecção forçada de ar em regime turbulento.

Passo 8

Determinar a área de troca térmica A do cárter (assumindo todas as faces externas expostas ao ar). Para uma caixa retangular com dimensões dadas, a área total externa é\n
A=2(L_xL_y + L_xL_z + L_yL_z).\n
Substituindo L_x=0{,}80\\ \mathrm{m}, L_y=0{,}30\\ \mathrm{m}, L_z=0{,}10\\ \mathrm{m}:\n
A=2(0{,}80\cdot0{,}30 + 0{,}80\cdot0{,}10 + 0{,}30\cdot0{,}10)=2(0{,}24+0{,}08+0{,}03)=2(0{,}35)=0{,}70\\ \mathrm{m^2}.\n
Observação: se alguma face estivesse tæticamente protegida ou em contato com o motor, a área efetiva seria menor; aqui assumimos exposição completa ao ar.

Passo 9

Calcular o fluxo de calor convectivo total \dot Q usando\n
\dot Q = h\,A\,(T_s-T_\infty).\n
Diferença de temperatura \Delta T = T_s-T_\infty = 70^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=60\\ \mathrm{K}.\n Substituindo \(h\approx 40{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, A=0{,}70\\ \mathrm{m^2} e \Delta T=60\\ \mathrm{K}:\n
\dot Q \approx 40{,}7\times 0{,}70 \times 60 \\ \mathrm{W} \approx 1{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{W}.\n
Em unidades usadas no enunciado (kcal/h) podemos converter: 1\\ \mathrm{W}\approx 0{,}859845\\ \mathrm{kcal/h}, logo\n
\dot Q \approx 1{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{W}\times 0{,}859845\\ \frac{\mathrm{kcal/h}}{\mathrm{W}}\approx 1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}.)

Passo 10

Resumo numérico e interpretação final (um empurrãozinho motivacional):\n
A velocidade mínima para garantir turbulência sobre todo o comprimento L=0{,}80\\ \mathrm{m} ficou em torno de V_{\min}\approx 10{,}9\\ \mathrm{m/s} (ou seja, cerca de 39\\ \mathrm{km/h}).\n
Com essa velocidade, o coeficiente de convecção médio estimado é h\approx 40{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e o calor perdido por unidade de tempo (potência) pelo cárter é aproximadamente 1{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{W} (aprox. 1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}).\n
Parabéns — você já tem o procedimento completo para aplicar rápido numa prova: (1) determinar V_{\min} por Reynolds, (2) obter Nu pela correlação turbulenta, (3) calcular h e (4) \dot Q=hA\Delta T. Vai com calma que você consegue!

Resposta

\dot Q \approx 1{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{W} \approx 1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}

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