Questão 5 - Um coletor solar de placa plana é colocado horizontalemente em um telhado. Para determinar sua eficiência, é necessário calcular a perda de calor para o ambiente a partir da superfície. O coletor é uma placa de 50 cm de largura. Sua temperatura superficial é de 60^{\circ} \mathrm{C}. Se um vento à 20^{\circ} \mathrm{C} estiver soprando sobre o coletor a uma velocidade de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule as quantidades a seguir em \mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathrm{c}}.
a) Espessura da camada limite fluidodinâmica.
b) Espessura da camada limite térmica.
c) Taxa de tranferência de calor.
Propriedades do ar a 40^{\circ} \mathrm{C} : \varrho=1,091 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=0,241 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mu=1,91 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \quad \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=0,71 \mathrm{e} \mathrm{k}=0,0234 kcal/h.m. { }^{\circ} C

Passo 1

Aqui está o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Vou listar só os dados relevantes e as perguntas, bem organizado para você não se perder. \n
Dados do enunciado: \n
  • Largura da placa (que vou tomar como a distância ao longo do escoamento onde queremos avaliar, ou seja x_c): \;x_c=0,50\\ \mathrm{m}. \n
  • Temperatura da superfície da placa: \;T_s=60^\circ\mathrm{C}. \n
  • Temperatura do ar (escoamento): \;T_\infty=20^\circ\mathrm{C}. \n
  • Velocidade do vento: \;U_\infty=3,0\\ \mathrm{m/s}. \n
    Propriedades do ar (avaliadas a 40^\circ\mathrm{C}, fornecidas): \n
  • Densidade: \;\varrho=1,091\\ \mathrm{kg/m^3}. \n
  • Calor específico: \;c_p=0,241\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot^\circ C)}. \n
  • Viscosidade dinâmica: \;\mu=1,91\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}. \n
  • Número de Prandtl: \;Pr=0,71. \n
  • Condutividade térmica: \;k=0,0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}. \n
    O que o exercício pede (em \;x=x_c): \n
    a) Espessura da camada-limite fluidodinâmica (velocidade) em x_c. \n
    b) Espessura da camada-limite térmica em x_c. \n
    c) Taxa de transferência de calor (vou calcular o coeficiente convectivo local h_x, o fluxo local por área q'' e a taxa total por largura da placa Q' para a largura dada de 0,50\\ \mathrm{m}). \n

Passo 2

Primeiro passo de conta: calcular a viscosidade cinemática e o número de Reynolds local em x_c. Vou explicar cada fórmula e o que é cada símbolo. \n
  • Viscosidade cinemática \nu é a razão entre a viscosidade dinâmica \mu e a densidade \varrho: \nu=\frac{\mu}{\varrho}.
Aqui \mu tem unidade \mathrm{kg/(m\cdot s)} e \varrho tem \mathrm{kg/m^3}, então \nu fica em \mathrm{m^2/s}. \n
  • O número de Reynolds local \mathrm{Re}_x mede a razão entre os efeitos inerciais e viscosos no escoamento e é dado por \mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty x}{\nu},
onde U_\infty é a velocidade livre e x é a distância a partir da borda dianteira onde avaliamos. \n
Agora aplicando os números: \nu=\frac{1,91\times10^{-5}}{1,091}=1,75\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
\mathrm{Re}_{x_c}=\frac{3,0\cdot 0,50}{1,75\times10^{-5}}\approx8,58\times10^{4}.

Passo 3

Determinar o regime do escoamento (laminar ou turbulento) e justificar qual correlação usar. \n
  • Regime: o valor crítico típico para transição laminar→turbulento em placa plana é cerca de \mathrm{Re}_{\text{cr}}\approx5{,}0\times10^{5}. \n
  • Nosso \mathrm{Re}_{x_c}\approx8,58\times10^{4} é bem menor que 5,0\times10^{5}, então o escoamento ainda é laminar em x_c. \n
    Por isso vamos usar as correlações clássicas para camada-limite laminar sobre placa plana (Blasius / soluções de similaridade).

Passo 4

Calcular a espessura da camada-limite fluidodinâmica (velocidade) \delta(x) para escoamento laminar. Vou explicar a expressão usada. \n
  • Para escoamento laminar sobre placa plana a espessura da camada-limite baseada em 99\% da velocidade ( \delta_{99}) é frequentemente aproximada por \delta(x)\approx 5\,\frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Aqui \delta tem unidade de metros, x é a distância ao longo da placa e \mathrm{Re}_x é o Reynolds local definido antes. A constante 5 vem da solução de Blasius e é usada como aproximação prática (definição \delta_{99\%}). \n
Aplicando em x=x_c: \sqrt{\mathrm{Re}_{x_c}}=\sqrt{8,58\times10^{4}}\approx2,93\times10^{2}.
\delta(x_c)\approx 5\cdot\frac{0,50}{2,93\times10^{2}}= \frac{2,5}{2,93\times10^{2}}\approx0,00854\\ \mathrm{m}.
\text{Portanto }\delta(x_c)\approx8,54\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a espessura da camada-limite térmica \delta_t(x). Explico a relação entre \delta_t e \delta. \n
  • Para escoamento laminar sobre placa com temperatura de superfície constante, a espessura térmica escala com a espessura de velocidade e o número de Prandtl: \delta_t(x)\approx 5\,\frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}\,Pr^{1/3}}.
Isto equivale a dizer \delta_t\approx\delta\cdot Pr^{-1/3}. O expoente 1/3 vem da solução de similaridade da equação de energia no escoamento laminar. \n
Calculando Pr^{1/3}: Pr^{1/3}=0,71^{1/3}\approx0,892.
\delta_t(x_c)\approx\frac{0,00854}{0,892}\approx0,00957\\ \mathrm{m}.
\text{Portanto }\delta_t(x_c)\approx9,57\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Agora vamos calcular a taxa de transferência de calor: primeiro explico a relação que usaremos e o que cada símbolo significa. \n
  • O número de Nusselt local para placa plana em escoamento laminar (temperatura de superfície constante) é dado por: \mathrm{Nu}_x=\frac{h_x x}{k}=0,332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,Pr^{1/3}.
Aqui \mathrm{Nu}_x é adimensional; h_x é o coeficiente convectivo local com unidades compatíveis com k/x; k é condutividade térmica do fluido; e a expressão do lado direito é a correlação clássica (válida para escoamento laminar e Pr\gtrsim0,6). \n
  • Com \mathrm{Nu}_x podemos obter h_x por h_x=\frac{\mathrm{Nu}_x\,k}{x}.
  • A partir de h_x o fluxo de calor convectivo local por unidade de área é q''=h_x\,(T_s-T_\infty).
  • Se quisermos a taxa de calor total associada à largura da placa ( 0,50\\ \mathrm{m}) por unidade de comprimento perpendicular (por cada metro de envergadura), multiplicamos q'' pela largura: Q' = q''\cdot(\text{largura}) .

Passo 7

Calcular numericamente \mathrm{Nu}_{x_c}, h_{x_c}, q'' e Q'. \n
  • Primeiro \mathrm{Nu}_{x_c}: \mathrm{Nu}_{x_c}=0,332\sqrt{\mathrm{Re}_{x_c}}\,Pr^{1/3}=0,332\cdot(2,929\times10^{2})\cdot0,892\approx86,7.
\mathrm{Nu}_{x_c}\approx86,7. \n
  • Agora h_{x_c} usando k=0,0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)} e x_c=0,50\\ \mathrm{m}: h_{x_c}=\frac{86,7\cdot0,0234}{0,50}\approx4,06\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}. \n
  • Diferença de temperatura: \Delta T=T_s-T_\infty=60-20=40^\circ\mathrm{C}. \n
  • Fluxo de calor por área: q''=h_{x_c}\,\Delta T=4,06\cdot40\approx162,4\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}. \n
  • Taxa de calor para a largura da placa (0,50\\ \mathrm{m}) por unidade de comprimento perpendicular (por cada metro de envergadura): Q' = q''\times0,50\approx162,4\cdot0,50\approx81,2\\ \mathrm{kcal/h\\ per\\ meter\\ (de\\ envergadura)}.

Passo 8

Resumo numérico com arredondamento prático (e uma conversão rápida para watts caso você prefira SI). \n
  • Valores em unidades fornecidas (kcal e hora): \n
    \delta(x_c)\approx0,00854\\ \mathrm{m} (8,54 mm). \n
    \delta_t(x_c)\approx0,00957\\ \mathrm{m} (9,57 mm). \n
    h_{x_c}\approx4,06\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}. \n
    q''\approx162,4\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}. \n
    Q'\\ (\text{para largura }0,50\\ \mathrm{m})\approx81,2\\ \mathrm{kcal/h\\ por\\ m\\ de\\ envergadura}. \n
  • Conversão rápida para SI (1 kcal/h \approx1,162\\ \mathrm{W}): \n
    q''\approx162,4\cdot1,162\approx188,8\\ \mathrm{W/m^2}. \n
    Q'\approx81,2\cdot1,162\approx94,4\\ \mathrm{W\\ por\\ m\\ de\\ envergadura}.

Resposta

\delta(x_c)=0,00854\\ \mathrm{m} (8,54 mm). \n
\delta_t(x_c)=0,00957\\ \mathrm{m} (9,57 mm). \n
h_{x_c}=4,06\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)};\\ q''=162,4\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)};\\ Q'_{0,50\\ \mathrm{m}}=81,2\\ \mathrm{kcal/h\\ per\\ m\\ (de\\ envergadura)}.

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