Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
não houver restrição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Temos 25 livros no catálogo.
  • Precisamos escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses (um livro por mês).
  • A pergunta é: quantos roteiros livro-mês podem ser criados se não houver restrição?
Observação: o enunciado não proíbe repetir livros em meses diferentes; portanto, interpretamos “não houver restrição” como sendo permitido escolher o mesmo livro mais de uma vez em meses distintos.

Passo 2

Entendendo o que significa “escolher um livro para cada mês” sem restrição:
  • Para o mês 1 há 25 opções (qualquer um dos 25 livros).
  • Para o mês 2 também há 25 opções, independentemente da escolha do mês 1 (pois repetição é permitida).
  • E assim por diante até o mês 12, cada mês tendo 25 opções independentes.
Esse tipo de situação é tratada pela chamada regra do produto (princípio multiplicativo): se uma sequência de decisões tem n_1 opções para a 1ª decisão, n_2 opções para a 2ª decisão, …, n_k opções para a k-ésima decisão, e as escolhas são independentes, então o número total de sequências de decisões é
n_1 \cdot n_2 \cdots n_k.
Aqui k=12 meses e cada n_i=25.

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao nosso problema:
  • O número total de roteiros é
25 \cdot 25 \cdot \dots \cdot 25
com 25 multiplicado 12 vezes. Em notação de potência isso é
25^{12}.
Explicando a notação: \,25^{12} significa multiplicar 25 por si mesmo 12 vezes; o expoente 12 indica quantas vezes o número 25 aparece no produto.

Passo 4

Podemos também escrever \,25^{12} de forma equivalente usando potências de 5, já que 25=5^2. Assim
25^{12} = \left(5^2\right)^{12} = 5^{24}.
Se você quiser o valor numérico (apenas para ter uma noção do tamanho), ele é
25^{12} = 59\,604\,644\,775\,390\,625.
Para fixar a ideia com um exemplo pequeno: se houvesse 3 livros e 2 meses, o total seria 3^2=9 roteiros diferentes (cada mês qualquer um dos 3), lista curta que dá confiança no método.

Resposta

\;25^{12}
\;59\,604\,644\,775\,390\,625

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