Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
devem incluir 4 livros nacionais e 8 internacionais no roteiro?
devem incluir 4 livros nacionais e 8 internacionais no roteiro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
- Há
livros no catálogo.\n - Desses,
são nacionais e são internacionais.\n - Precisamos escolher um livro para cada um dos próximos
meses (ou seja, montar uma sequência mês-a-mês de livros). Os meses são distinguíveis (janeiro não é o mesmo que fevereiro), então a ordem importa.\n - A restrição: o roteiro deve incluir exatamente
livros nacionais e livros internacionais.\n
O que se pede: contar quantos roteiros livro–mês distintos (sequências delivros, sem repetição) satisfazem essa condição.\n
Observação usada para resolver: assumimos que não se repete um mesmo livro em meses diferentes (cada livro pode ser escolhido no máximo uma vez).
Passo 2
Plano lógico (sem cálculos pesados ainda): primeiro escolhemos quais são os
livros nacionais (entre as
), depois escolhemos quais são os
livros internacionais (entre as
); depois, tendo escolhido esses
livros distintos, arranjamos esses
livros nos
meses (a ordem importa). Portanto o total será o produto desses três fatores.\n
Agora a parte das fórmulas: para escolher
objetos dentre
quando a ordem não importa usamos a combinação\n
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Para arranjar
objetos distintos em ordem usamos
(porque há
escolhas para a primeira posição,
para a segunda, etc.).\n
Definições das variáveis que usaremos:\n
Definições das variáveis que usaremos:\n
-
é o número de livros nacionais disponíveis;\n- é quantos nacionais queremos escolher;\n- é o número de livros internacionais disponíveis;\n- é quantos internacionais queremos escolher;\n- depois arranjamos os livros em ordens.
Passo 3
Calculemos o número de maneiras de escolher os nacionais e os internacionais.\n
Número de escolhas de
nacionais dentre
:\n
\n
Explicando o cálculo: em vez de calcular
inteiro e depois dividir, simplificamos cancelando
no numerador, ficando o produto dos quatro maiores fatores dividido por
, e então efetuamos as divisões passo a passo (ou calculadora mental):
e
, então
.
Passo 4
Agora o número de escolhas de
internacionais dentre
:\n
\n
Comentário didático: usamos a simetria
para ter menos fatores no numerador. Fazendo as simplificações fator a fator chega-se ao valor
.
Passo 5
Agora, tendo escolhido
nacionais e
internacionais (total
livros distintos), vamos contar as ordens possíveis nas
posições mensais. O número de permutações de
objetos distintos é\n
\n
Portanto o total de roteiros é o produto dos três fatores:\n
\n
Substituindo os valores que calculamos:\n
\n
Façamos as multiplicações em ordem conveniente: primeiro\n
\n
Agora multiplicamos por
:\n
Passo 6
Interpretação final (para você checar mentalmente): esse número enorme representa todas as maneiras diferentes de escolher exatamente
livros nacionais e
internacionais do catálogo e colocá‑los em ordem nos
meses. Se quiser um exemplo pequeno para fixar a ideia: se houvesse
meses,
nacionais disponíveis e
internacionais disponíveis, e quiséssemos
nacional e
internacional, o total seria
roteiros — a mesma lógica, só em escala menor.
Resposta
647,298,812,160,000