Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
devem incluir 4 livros nacionais e 8 internacionais no roteiro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
  • \,25\, livros no catálogo.\n
  • Desses, \,10\, são nacionais e \,15\, são internacionais.\n
  • Precisamos escolher um livro para cada um dos próximos \,12\, meses (ou seja, montar uma sequência mês-a-mês de \,12\, livros). Os meses são distinguíveis (janeiro não é o mesmo que fevereiro), então a ordem importa.\n
  • A restrição: o roteiro deve incluir exatamente \,4\, livros nacionais e \,8\, livros internacionais.\n
    O que se pede: contar quantos roteiros livro–mês distintos (sequências de \,12\, livros, sem repetição) satisfazem essa condição.\n
    Observação usada para resolver: assumimos que não se repete um mesmo livro em meses diferentes (cada livro pode ser escolhido no máximo uma vez).

Passo 2

Plano lógico (sem cálculos pesados ainda): primeiro escolhemos quais são os \,4\, livros nacionais (entre as \,10\,), depois escolhemos quais são os \,8\, livros internacionais (entre as \,15\,); depois, tendo escolhido esses \,12\, livros distintos, arranjamos esses \,12\, livros nos \,12\, meses (a ordem importa). Portanto o total será o produto desses três fatores.\n
Agora a parte das fórmulas: para escolher k objetos dentre n quando a ordem não importa usamos a combinação\n \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto \,n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Para arranjar n objetos distintos em ordem usamos n! (porque há n escolhas para a primeira posição, n-1 para a segunda, etc.).\n
Definições das variáveis que usaremos:\n
  • n_{\text{N}}=10 é o número de livros nacionais disponíveis;\n- k_{\text{N}}=4 é quantos nacionais queremos escolher;\n- n_{\text{I}}=15 é o número de livros internacionais disponíveis;\n- k_{\text{I}}=8 é quantos internacionais queremos escolher;\n- depois arranjamos os k_{\text{N}}+k_{\text{I}}=12 livros em 12! ordens.

Passo 3

Calculemos o número de maneiras de escolher os nacionais e os internacionais.\n
Número de escolhas de \,4\, nacionais dentre \,10\,:\n \binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\,6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.\n
Explicando o cálculo: em vez de calcular 10! inteiro e depois dividir, simplificamos cancelando 6! no numerador, ficando o produto dos quatro maiores fatores dividido por 4!, e então efetuamos as divisões passo a passo (ou calculadora mental): 10\cdot9\cdot8\cdot7=5040 e 4!=24, então 5040/24=210.

Passo 4

Agora o número de escolhas de \,8\, internacionais dentre \,15\,:\n \binom{15}{8}=\binom{15}{7}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=6435.\n
Comentário didático: usamos a simetria \binom{15}{8}=\binom{15}{15-8}=\binom{15}{7} para ter menos fatores no numerador. Fazendo as simplificações fator a fator chega-se ao valor \,6435\,.

Passo 5

Agora, tendo escolhido \,4\, nacionais e \,8\, internacionais (total \,12\, livros distintos), vamos contar as ordens possíveis nas \,12\, posições mensais. O número de permutações de \,12\, objetos distintos é\n 12! = 12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 479\,001\,600.\n
Portanto o total de roteiros é o produto dos três fatores:\n \binom{10}{4}\cdot \binom{15}{8}\cdot 12!.\n
Substituindo os valores que calculamos:\n 210\cdot 6435\cdot 479\,001\,600.\n
Façamos as multiplicações em ordem conveniente: primeiro\n 210\cdot 6435 = 1\,351\,350.\n
Agora multiplicamos por 12!:\n 1\,351\,350 \cdot 479\,001\,600 = 647\,298\,812\,160\,000.

Passo 6

Interpretação final (para você checar mentalmente): esse número enorme representa todas as maneiras diferentes de escolher exatamente \,4\, livros nacionais e \,8\, internacionais do catálogo e colocá‑los em ordem nos \,12\, meses. Se quiser um exemplo pequeno para fixar a ideia: se houvesse 2 meses, 2 nacionais disponíveis e 2 internacionais disponíveis, e quiséssemos 1 nacional e 1 internacional, o total seria \binom{2}{1}\cdot\binom{2}{1}\cdot 2! = 2\cdot2\cdot2 = 8 roteiros — a mesma lógica, só em escala menor.

Resposta

647,298,812,160,000

Exercícios relacionados