Encontre o coeficiente que multiplica os seguintes termos nas respectivas expansões. Resolva todos os binômios, se houver.
x^{6} y^{2} na expansão de \left(2 x+y^{2}\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o coeficiente do termo x^{6}y^{2} na expansão de \left(2x+y^{2}\right)^{7}.
Informações dadas: a expressão é um binômio elevado a 7 e o termo alvo é x^{6}y^{2}.

Passo 2

Vou usar a fórmula do Teorema do Binômio. Em forma geral temos:
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k itens entre n) e o k-ésimo termo da soma é \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}. Isso significa que, para cada k, a potência de a é n-k e a potência de b é k.

Passo 3

No nosso caso podemos identificar a=2x, b=y^{2} e n=7. O termo geral da expansão é
\binom{7}{k}(2x)^{7-k}(y^{2})^{k}.
Note que (2x)^{7-k}=2^{7-k}x^{7-k} (portanto a potência de x é 7-k) e (y^{2})^{k}=y^{2k} (portanto a potência de y é 2k).

Passo 4

Queremos o termo com x^{6}y^{2}. Isso impõe as condições
7-k=6\quad\text{e}\quad 2k=2.
Ambas dão k=1. Então devemos tomar k=1 no termo geral:
\binom{7}{1}(2x)^{6}(y^{2})^{1}.
Agora separamos a parte numérica (coeficiente) da parte com as variáveis:
\binom{7}{1}=7,\qquad (2x)^{6}=2^{6}x^{6},\qquad (y^{2})^{1}=y^{2}.
Logo o coeficiente numérico que acompanha x^{6}y^{2} é
\binom{7}{1}\cdot 2^{6}=7\cdot 2^{6}=7\cdot 64.

Passo 5

Fazendo a multiplicação 7\cdot 64 obtemos o valor final do coeficiente.

Resposta

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