Um livro escorrega horizontalmente para fora do topo de uma mesa. Ao sair da borda da mesa, o livro tem uma velocidade horizontal de módulo v0. O livro atinge o solo no instante t. Se a velocidade inicial do livro for dobrada para 2 v0, o que acontece com (a) o tempo em que o livro está no ar, (b) a distância horizontal que o livro percorre enquanto está no ar e © a velocidade do livro imediatamente antes de atingir o solo? Em particular, cada uma dessas quantidades permanece igual, dobra ou varia de alguma outra maneira? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um livro que desliza horizontalmente da mesa com uma velocidade inicial . Quando ele sai da mesa, ele leva um certo tempo para cair no chão. A pergunta é: se a gente dobrar essa velocidade inicial para , o que acontece com:
a) o tempo no ar,
b) a distância horizontal percorrida,
c) a velocidade do livro antes de bater no chão?
Vamos precisar usar conceitos de movimento uniforme horizontal e movimento uniformemente acelerado vertical. Basicamente, a gente vai analisar como a mudança na velocidade inicial afeta esses diferentes aspectos do movimento do livro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tempo que o livro fica no ar. Quando o livro sai da mesa, ele só tem movimento horizontal, ou seja, na direção x. Na direção vertical, y, ele começa a cair por causa da gravidade, que puxa ele para baixo com aceleração t = raiz2hg .
A equação para o tempo de queda, considerando que ele começa do repouso na vertical, é:
onde é a altura da mesa. Note que nessa equação, a velocidade horizontal não entra, então o tempo depende só da altura e da gravidade.

Passo 3

Agora, se a velocidade inicial for dobrada para , vamos ver o que muda. Olhando a equação do tempo , percebemos que ela não depende da velocidade horizontal. Isso significa que, mesmo que a velocidade inicial dobre, o tempo que o livro fica no ar continua o mesmo, já que a queda vertical não é afetada pela velocidade horizontal.

Passo 4

Vamos para a distância horizontal percorrida, que a gente pode chamar de d = v0 times t . Como o movimento horizontal é uniforme, a distância é dada por:
d' = 2v0 times t = 2d
Se a velocidade for dobrada para , a nova distância será:
Então, a distância percorrida dobra quando a velocidade inicial é dobrada.

Passo 5

Por último, vamos falar da velocidade do livro antes de bater no chão. A velocidade final do livro tem duas componentes: horizontal e vertical. A componente horizontal continua sendo vy = g times t , já que o movimento horizontal é uniforme.
A componente vertical, que depende da queda, é dada por:
v = raiz(2v0)^2 + (>)^2
Essa parte vertical não muda porque o tempo não mudou e a aceleração da gravidade é a mesma.
Para encontrar a velocidade total antes de bater, usamos o teorema de Pitágoras:
Comparando com a velocidade original , vemos que a componente horizontal dobrou, então a velocidade total também aumenta, mas não simplesmente dobra – ela aumenta de uma maneira que depende das duas componentes.

Resposta

a) O tempo no ar permanece igual.
b) A distância horizontal percorrida dobra.
c) A velocidade do livro antes de bater no chão aumenta, mas não exatamente dobra.

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