ll rho(r)=rho0(1-4 r / 3 R) & para r <= R / 2 rho(r)=0 & para r >= R
em que rho0 é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região r >= R. © Determine uma expressão para o campo elétrico na região r <= R. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função da distância r. (e) Encontre o ponto r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos uma densidade de carga esférica
rho(r)= rho0l(1-tfrac4r3Rr),,&r<= R/2, 0,,&r>= R,
onde é constante e é o “raio” de referência. A matéria é eletrostática e a gente vai usar duas ferramentas principais:
  1. Integração em coordenadas esféricas pra achar carga total e carga acumulada até certa distância .
  2. Lei de Gauss (campo elétrico radial de simetria esférica: ).

Passo 2

(a) Carga total Q ;=;integral0^R/2rho(r),4pi r^2,dr =;4pirho0integral0^R/2l(r^2-tfrac4r^33Rr)dr .
A gente integra só até Q=4pirho0l[tfracR^324-tfrac43RcdottfracR^464r] =4pirho0l[tfracR^324-tfracR^348r] =4pirho0cdottfracR^348 =pirho0R^312 , porque pra a densidade some até .
Fazendo as integrais:
,
.
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Passo 3

(b) Campo em E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2 =14pivarepsilon0,pirho0R^3/12r^2 =rho0,R^348,varepsilon0;1r^2 .
Fora da distribuição, todo o carga parece concentrada no centro, então pela lei de Gauss

Passo 4

© Campo em Qrm int(r) =4pirho0integral0^rl(r'^2-tfrac4r'^33Rr)dr' =4pirho0l[tfracr^33-tfracr^43Rr] =4pirho0,r^3(R-r)3R .
Temos duas sub-regiões:
  1. E(r)=Qrm int(r)4pivarepsilon0,r^2 =rho03varepsilon0R;r,(R-r) : carga interna até E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2 =rho0,R^348,varepsilon0;1r^2, é
Então
  1. : toda a carga até já está dentro, e de até não tem mais carga. Então , e
igualzinho à região externa, mas válido só até .

Passo 5

(d) Gráfico de vs. :
  • De até cresce como (parabólica, chega a um pico em ).
  • De em diante cai como , primeiro até e continua igual depois.

Passo 6

(e) Máximo de E(r)=rho03varepsilon0R(rR-r^2) Longrightarrow dEdr=0;Rightarrow;R-2r=0;Rightarrow;r=R2 .
Como pra Emax=El(R/2r) =rho03varepsilon0Rl(tfracR2R-tfracR^24r) =rho03varepsilon0R,R^24 =rho0,R12,varepsilon0 ele cai, o pico tá em . A gente pode achar derivando
O valor máximo é

Resposta

(a)
(b) Para ,

© Em ,
;
em ,

(d) Perfil: cresce parabólico até , depois cai como .
(e) Máximo em , com

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