em que
é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região
. © Determine uma expressão para o campo elétrico na região
. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico
em função da distância
. (e) Encontre o ponto
para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir: temos uma densidade de carga esférica
onde
é constante e
é o “raio” de referência. A matéria é eletrostática e a gente vai usar duas ferramentas principais:
- Integração em coordenadas esféricas pra achar carga total e carga acumulada até certa distância
. - Lei de Gauss (campo elétrico radial de simetria esférica:
).
Passo 2
(a) Carga total
.
A gente integra só até , porque pra
a densidade some até
.
A gente integra só até
Fazendo as integrais:
,
.
Logo
Logo
Passo 3
(b) Campo em
.
Fora da distribuição, todo o carga parece concentrada no centro, então pela lei de Gauss
Fora da distribuição, todo o carga parece concentrada no centro, então pela lei de Gauss
Passo 4
© Campo em
.
Temos duas sub-regiões:
Temos duas sub-regiões:
-
: carga interna até é
Então
-
: toda a carga até já está dentro, e de até não tem mais carga. Então , e
igualzinho à região externa, mas válido só até
.
Passo 5
(d) Gráfico de
vs.
:
- De
até cresce como (parabólica, chega a um pico em ). - De
em diante cai como , primeiro até e continua igual depois.
Passo 6
(e) Máximo de
.
Como pra ele cai, o pico tá em
. A gente pode achar derivando
Como pra
O valor máximo é
Resposta
(a)
(b) Para ,
© Em ,
;
em ,
(d) Perfil: cresce parabólico até , depois cai como
.
(e) Máximo em , com
(b) Para
© Em
em
(d) Perfil: cresce parabólico até
(e) Máximo em