Dois reservatórios prismáticos, um de área igual a 7,4 \mathrm{~m}^{2} e outro de área igual 3,7 \mathrm{~m}^{2}, estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimento e 50 mm de diâmetro, com fator de atrito \mathrm{f}=0,030. Determine o tempo necessário para que um volume de 2,3 \mathrm{~m}^{3} de água seja transferido do tanque maior para o menor, se a diferença de nível inicial entre eles é de 1,5 \mathrm{~m}. Coeficientes de perda de carga, na entrada \mathrm{K}=0,5 e na saída \mathrm{K}=1,0.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Área do reservatório maior: A_1 = 7,4\\ \mathrm{m^2}.
    • Área do reservatório menor: A_2 = 3,7\\ \mathrm{m^2}.
    • Tubulação: comprimento L = 125\\ \mathrm{m} e diâmetro D = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
    • Fator de atrito: f = 0,030.
    • Coeficientes de perda de carga local: entrada K_{\mathrm{in}} = 0,5 e saída K_{\mathrm{out}} = 1,0.
    • Diferença de nível inicial entre superfícies livres dos tanques: h_0 = 1,5\\ \mathrm{m}.
    • Volume que deve ser transferido do tanque maior para o menor: V_{\mathrm{trans}} = 2,3\\ \mathrm{m^3}.
    • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2} (usar quando necessário).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tempo necessário T para que o volume V_{\mathrm{trans}} = 2,3\\ \mathrm{m^3} seja transferido do tanque maior para o menor, considerando que a diferença de nível diminui à medida que o volume é transferido.

Passo 2

Entender como a diferença de nível varia quando um volume V é transferido e definir uma relação entre h (diferença de nível instantânea) e V.
  • Se um volume diferencial dV sai do tanque maior e entra no menor, as variações de nível são:
    • no tanque maior: dh_1 = -\dfrac{dV}{A_1} (desce),
    • no tanque menor: dh_2 = +\dfrac{dV}{A_2} (sobe).
  • A diferença de nível instantânea entre os dois tanques é h = h_1 - h_2. Partindo de h_0, após transferir V tem-se
h = h_0 - \left(\dfrac{1}{A_1} + \dfrac{1}{A_2}\right) V.
  • Definindo a constante
C \equiv \dfrac{1}{A_1} + \dfrac{1}{A_2},
obtemos
h = h_0 - C\,V.
  • Para os dados:
C = \dfrac{1}{7,4} + \dfrac{1}{3,7} = \dfrac{10}{74} + \dfrac{10}{37} = \dfrac{15}{37} \approx 0,405405405\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Escrever a equação de perda de carga que relaciona a diferença de nível h com a velocidade no tubo e com a vazão.
  • Energia entre superfícies livres (desprezando velocidades nos tanques): a queda de carga disponível h é dissipada nas perdas por atrito na tubulação e nas perdas locais de entrada/saída. Então
h = h_f + h_{\mathrm{loc}},
onde
h_f = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^2}{2g} \qquad\text{e}\qquad h_{\mathrm{loc}} = \left(K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}}\right)\dfrac{v^2}{2g}.
  • Agrupando:
h = \left(f\,\dfrac{L}{D} + K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}}\right)\dfrac{v^2}{2g}.
  • Aqui:
    • v é a velocidade média no tubo ( \mathrm{m/s}).
    • L/D é a razão comprimento/diâmetro (adimensional).
    • K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}} é a soma das perdas locais (adimensional).
    • g é a gravidade.

Passo 4

Relacionar a vazão Q com a diferença de nível h.
  • Área da seção do tubo:
A_p = \dfrac{\pi D^2}{4}.
Com D=0,05\\ \mathrm{m}:
A_p = \dfrac{\pi (0,05)^2}{4} = 0,000625\pi \approx 0,001963495\\ \mathrm{m^2}.
  • Isolar v na equação de perdas:
v = \sqrt{\dfrac{2g\,h}{\,f\,\dfrac{L}{D} + K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}}\,}}.
  • A vazão é Q = A_p\,v. Logo podemos escrever
Q(h) = A_p \sqrt{\dfrac{2g}{\,f\dfrac{L}{D} + K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}}\,}}\;\sqrt{h}.
  • Para simplificar chamo a constante multiplicativa de K_Q:
K_Q \equiv A_p \sqrt{\dfrac{2g}{\,f\dfrac{L}{D} + K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}}\,}}, \qquad Q(h) = K_Q\,\sqrt{h}.

Passo 5

Montar a equação diferencial que relaciona V(t) e Q, trocar de variável para h e preparar a integral para encontrar o tempo total T.
  • A equação balanceada do volume no sistema é
\dfrac{dV}{dt} = -Q(h),
aqui o sinal negativo só indica que V no tanque maior diminui; tomaremos V como o volume transferido (positivo) e usaremos dV/dt = Q(h) com V aumentando do ponto de vista da transferência. Para a integração usaremos a relação entre V e h:
V = \dfrac{h_0 - h}{C}\quad\Rightarrow\quad dV = -\dfrac{1}{C}\,dh.
  • Então
dt = \dfrac{dV}{Q(h)} = -\dfrac{1}{C}\,\dfrac{dh}{Q(h)}.
  • Integrando desde o instante inicial (quando V=0,\\ h=h_0) até o instante final (quando V=V_{\mathrm{trans}},\\ h=h_f), o tempo total é
T = \int_{0}^{V_{\mathrm{trans}}} \dfrac{dV}{Q(h)} = \dfrac{1}{C}\int_{h_f}^{h_0} \dfrac{dh}{Q(h)}.

Passo 6

Efetuar a integral explicitamente usando Q(h)=K_Q\sqrt{h}.
  • Substituindo:
T = \dfrac{1}{C}\int_{h_f}^{h_0} \dfrac{dh}{K_Q\sqrt{h}} = \dfrac{1}{C\,K_Q}\int_{h_f}^{h_0} h^{-1/2}\,dh.
  • Calcule a integral:
\int h^{-1/2}\,dh = 2\sqrt{h},
portanto
T = \dfrac{2}{C\,K_Q}\left(\sqrt{h_0} - \sqrt{h_f}\right).
  • Precisamos de h_f, a diferença de nível após transferir V_{\mathrm{trans}}:
h_f = h_0 - C\,V_{\mathrm{trans}}.

Passo 7

Calcular numericamente todas as constantes e avaliar T.
  1. Constante C (já calculada):
C = \dfrac{15}{37} \approx 0,405405405\\ \mathrm{m^{-3}}.
  1. Área do tubo A_p:
A_p \approx 0,001963495\\ \mathrm{m^2}.
  1. Soma de perdas locais:
K_{\mathrm{tot}} = K_{\mathrm{in}}+K_{\mathrm{out}} = 0,5 + 1,0 = 1,5.
  1. f\dfrac{L}{D}:
f\dfrac{L}{D} = 0,03\cdot\dfrac{125}{0,05} = 0,03\cdot 2500 = 75.
  1. Denominador na raiz:
f\dfrac{L}{D} + K_{\mathrm{tot}} = 75 + 1,5 = 76,5.
  1. Constante K_Q:
K_Q = A_p \sqrt{\dfrac{2g}{76,5}}.
Calcule passo a passo:
2g = 2\cdot 9,81 = 19,62, \qquad \dfrac{2g}{76,5} \approx 0,256078431,
\sqrt{\dfrac{2g}{76,5}} \approx 0,5060359,
K_Q \approx 0,001963495\cdot 0,5060359 \approx 0,000993461\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot \sqrt{m})}.
  1. Valor de h_f:
h_f = h_0 - C\,V_{\mathrm{trans}} = 1,5 - 0,405405405\cdot 2,3.
0,405405405\cdot 2,3 \approx 0,932432432, \qquad h_f \approx 1,5 - 0,932432432 = 0,567567568\\ \mathrm{m}.
  1. Raízes:
\sqrt{h_0} = \sqrt{1,5} \approx 1,224744871, \qquad \sqrt{h_f} = \sqrt{0,567567568} \approx 0,753375000.
\sqrt{h_0} - \sqrt{h_f} \approx 1,224744871 - 0,753375000 = 0,471369871.
  1. Finalmente T:
T = \dfrac{2}{C\,K_Q}\left(\sqrt{h_0} - \sqrt{h_f}\right).
Calcule C\,K_Q \approx 0,405405405\cdot 0,000993461 \approx 0,000402753.
\dfrac{2}{C\,K_Q} \approx \dfrac{2}{0,000402753} \approx 4966{,}4\\ \mathrm{s/m^{1/2}}.
Multiplicando pela diferença de raízes:
T \approx 4966{,}4 \cdot 0,471369871 \approx 2341{,}9\\ \mathrm{s}.
  1. Converter para minutos:
T \approx \dfrac{2341{,}9}{60} \approx 39{,}03\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Comentário final e checagem rápida (motivação e sanidade).
  • Ordem de grandeza: 2342\\ \mathrm{s} é cerca de 39 minutos. Faz sentido para uma tubulação fina ( D=50\\ \mathrm{mm}) e perda de carga relativamente alta ( fL/D = 75 domina as perdas).
  • Resultado arredondado com precisão razoável: T \approx 2342\\ \mathrm{s} \approx 39{,}0\\ \mathrm{min}.

Resposta

T \approx 2342\\ \mathrm{s} \approx 39{,}0\\ \mathrm{min}

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