Dois reservatórios prismáticos, um de área igual a 7,4 \mathrm{~m}^{2} e outro de área igual 3,7 \mathrm{~m}^{2}, estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimento e 50 mm de diâmetro, com fator de atrito \mathrm{f}=0,030. Determine o tempo necessário para que um volume de 2,3 \mathrm{~m}^{3} de água seja transferido do tanque maior para o menor, se a diferença de nível inicial entre eles é de 1,5 \mathrm{~m}. Coeficientes de perda de carga, na entrada \mathrm{K}=0,5 e na saída \mathrm{K}=1,0.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Área do reservatório maior: A_1 = 7,4\\ \mathrm{m^2}.
Área do reservatório menor: A_2 = 3,7\\ \mathrm{m^2}.
Tubulação: comprimento L = 125\\ \mathrm{m} e diâmetro D = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
Fator de atrito: f = 0,030.
Coeficientes de perda de carga local: entrada K_{\mathrm{in}} = 0,5 e saída K_{\mathrm{out}} = 1,0.
Diferença de nível inicial entre superfícies livres dos tanques: h_0 = 1,5\\ \mathrm{m}.
Volume que deve ser transferido do tanque maior para o menor: V_{\mathrm{trans}} = 2,3\\ \mathrm{m^3}.
Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2} (usar quando necessário).
O que o enunciado pede:
Determinar o tempo necessário T para que o volume V_{\mathrm{trans}} = 2,3\\ \mathrm{m^3} seja transferido do tanque maior para o menor, considerando que a diferença de nível diminui à medida que o volume é transferido.
Passo 2
Entender como a diferença de nível varia quando um volume V é transferido e definir uma relação entre h (diferença de nível instantânea) e V.
Se um volume diferencial dV sai do tanque maior e entra no menor, as variações de nível são:
no tanque maior: dh_1 = -\dfrac{dV}{A_1} (desce),
no tanque menor: dh_2 = +\dfrac{dV}{A_2} (sobe).
A diferença de nível instantânea entre os dois tanques é h = h_1 - h_2. Partindo de h_0, após transferir V tem-se
h = h_0 - \left(\dfrac{1}{A_1} + \dfrac{1}{A_2}\right) V.
Escrever a equação de perda de carga que relaciona a diferença de nível h com a velocidade no tubo e com a vazão.
Energia entre superfícies livres (desprezando velocidades nos tanques): a queda de carga disponível h é dissipada nas perdas por atrito na tubulação e nas perdas locais de entrada/saída. Então
Montar a equação diferencial que relaciona V(t) e Q, trocar de variável para h e preparar a integral para encontrar o tempo total T.
A equação balanceada do volume no sistema é
\dfrac{dV}{dt} = -Q(h),
aqui o sinal negativo só indica que V no tanque maior diminui; tomaremos V como o volume transferido (positivo) e usaremos dV/dt = Q(h) com V aumentando do ponto de vista da transferência. Para a integração usaremos a relação entre V e h:
V = \dfrac{h_0 - h}{C}\quad\Rightarrow\quad dV = -\dfrac{1}{C}\,dh.
T \approx 4966{,}4 \cdot 0,471369871 \approx 2341{,}9\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
T \approx \dfrac{2341{,}9}{60} \approx 39{,}03\\ \mathrm{min}.
Passo 8
Comentário final e checagem rápida (motivação e sanidade).
Ordem de grandeza: 2342\\ \mathrm{s} é cerca de 39 minutos. Faz sentido para uma tubulação fina (D=50\\ \mathrm{mm}) e perda de carga relativamente alta ( fL/D = 75 domina as perdas).
Resultado arredondado com precisão razoável: T \approx 2342\\ \mathrm{s} \approx 39{,}0\\ \mathrm{min}.
Resposta
T \approx 2342\\ \mathrm{s} \approx 39{,}0\\ \mathrm{min}