Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{arctg}(x)+x-1.

Passo 1

O que o enunciado pede: localizar os zeros reais da função f dada por
f(x)=\operatorname{arctg}(x)+x-1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está definida para todo x\in\mathbb{R} porque \operatorname{arctg}(x) (arctangente) é definida em \mathbb{R}.
  • Precisamos encontrar todos os valores reais de x tais que f(x)=0, isto é, resolver
\operatorname{arctg}(x)+x-1=0.

Passo 2

Mostrar continuidade e monotonicidade de f (porque isso ajuda a saber quantas raízes podem existir).
  • A função \operatorname{arctg}(x) é contínua e derivável em todo \mathbb{R}. A soma e a função identidade x\mapsto x também são contínuas e deriváveis, e a soma de funções contínuas/deriváveis é contínua/derivável. Logo f é contínua e derivável em \mathbb{R}.
  • Derivada: usar que \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg}(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Assim
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+1.
  • Observação sobre f'(x): para todo x\in\mathbb{R} tem-se 1+x^{2}>0, portanto \dfrac{1}{1+x^{2}}>0. Assim
f'(x)=1+\frac{1}{1+x^{2}}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz real (não pode cruzar o eixo x mais de uma vez).

Passo 3

Mostrar existência de pelo menos uma raiz real (usar teorema do valor intermediário).
  • Calcular f em alguns pontos fáceis:
f(0)=\operatorname{arctg}(0)+0-1=0+0-1=-1.
f(1)=\operatorname{arctg}(1)+1-1=\frac{\pi}{4}+0=\frac{\pi}{4}\approx0,785\ldots
  • Temos f(0)=-1<0 e f(1)=\dfrac{\pi}{4}>0. Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.
  • Juntando com o passo anterior (unicidade), concluímos que existe exatamente uma raiz real, e ela está no intervalo (0,1).

Passo 4

Aproximar numericamente a raiz (explicar método prático que dá um valor utilizável na prova).
  • Método sugerido: bisseção (confiável e simples). Começamos com o intervalo [0,1] onde f(0)<0 e f(1)>0.
  • Para avaliar \operatorname{arctg}(x) em pontos intermediários podemos usar a série de Taylor centrada em 0 (válida para |x|\le1):
\operatorname{arctg}(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots,
e truncar nos primeiros termos para uma boa aproximação quando x não é grande (a convergência é razoável para |x|\le1). Vou usar termos até x^{5}/5 para as avaliações, o que já dá precisão suficiente para algumas casas decimais.
  • Iteração 1: ponto médio x_{1}=0,5.
    • Calcular \operatorname{arctg}(0,5) pela série: 0,5-(0,5)^{3}/3+(0,5)^{5}/5. (0,5)^{3}=0,125,\quad \frac{0,125}{3}\approx0,0416667,\quad (0,5)^{5}=0,03125,\quad \frac{0,03125}{5}=0,00625.
\operatorname{arctg}(0,5)\approx0,5-0,0416667+0,00625\approx0,4635833\\ (\text{valor conhecido mais preciso: }0,4636476).
  • Então f(0,5)\approx0,46365+0,5-1\approx-0,03635<0.
  • Conclusão: raiz está em (0,5,\,1).
  • Iteração 2: ponto médio do novo intervalo x_{2}=0,75.
    • Uma avaliação rápida dá \operatorname{arctg}(0,75)\approx0,6435 (pela série ou tabela), então f(0,75)\approx0,6435+0,75-1\approx0,3935>0.
    • Conclusão: raiz está em (0,5,\,0,75).
  • Iteração 3: ponto médio x_{3}=0,625.
    • Aproximação pela série: \operatorname{arctg}(0,625)\approx0,583 (truncando termos). Então f(0,625)\approx0,583+0,625-1\approx0,208>0.
    • Conclusão: raiz está em (0,5,\,0,625).
  • Iteração 4: ponto médio x_{4}=0,5625.
    • \operatorname{arctg}(0,5625)\approx0,524 (pela série), então f(0,5625)\approx0,524+0,5625-1\approx0,0865>0.
    • Conclusão: raiz está em (0,5,\,0,5625).
  • Iteração 5: ponto médio x_{5}=0,53125.
    • \operatorname{arctg}(0,53125)\approx0,494, então f(0,53125)\approx0,494+0,53125-1\approx0,02525>0.
    • Conclusão: raiz está em (0,5,\,0,53125).
  • Iteração 6: ponto médio x_{6}=0,515625.
    • \operatorname{arctg}(0,515625)\approx0,479, então f(0,515625)\approx0,479+0,515625-1\approx-0,005375<0.
    • Conclusão: raiz está em (0,515625,\,0,53125).
  • Iteração 7: ponto médio x_{7}=0,5234375.
    • \operatorname{arctg}(0,5234375)\approx0,487, então f(0,5234375)\approx0,487+0,5234375-1\approx0,0094375>0.
    • Conclusão: raiz está em (0,515625,\,0,5234375).
  • Iteração 8: ponto médio x_{8}=0,51953125.
    • Avaliações mais precisas (usando a série com atenção) dão \operatorname{arctg}(0,51953125)\approx0,4809\quad\Rightarrow\quad f(0,51953125)\approx0,4809+0,51953125-1\approx0,0002.
    • Observação: já estamos muito próximos de zero (ordem 10^{-4}).
  • Usando interpolação linear entre valores próximos obtidos nas iterações finais (ou mais iterações de bisseção) obtém-se uma aproximação com mais casas decimais. A interpolação entre x\approx0,519 com f ligeiramente negativo e x\approx0,520 com f ligeiramente positivo dá a raiz aproximada x\approx0,51953com precisão em torno de 10^{-5} suficiente para a maioria das provas.

Passo 5

Resumo dos resultados (o que foi provado e por que vale para a prova):
  • Pela derivada vimos que f'(x)>0 para todo x, logo f é estritamente crescente e pode ter no máximo uma raiz.
  • Pelo Teorema do Valor Intermediário e avaliação em x=0 e x=1 vimos que existe uma raiz em (0,1).
  • Com o método da bisseção aproximamos essa raiz e encontramos
x\approx0,51953.
  • Portanto existe exatamente um zero real de f, localizado em (0,1) e com aproximação numérica dada acima.

Resposta

Existe um único zero real: \;x\approx0,51953.