Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: localizar os zeros reais da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida para todo porque (arctangente) é definida em . - Precisamos encontrar todos os valores reais de
tais que , isto é, resolver
Passo 2
Mostrar continuidade e monotonicidade de
(porque isso ajuda a saber quantas raízes podem existir).
- A função
é contínua e derivável em todo . A soma e a função identidade também são contínuas e deriváveis, e a soma de funções contínuas/deriváveis é contínua/derivável. Logo é contínua e derivável em . - Derivada: usar que
. Assim
- Observação sobre
: para todo tem-se , portanto . Assim
- Conclusão:
é estritamente crescente em . Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz real (não pode cruzar o eixo mais de uma vez).
Passo 3
Mostrar existência de pelo menos uma raiz real (usar teorema do valor intermediário).
- Calcular
em alguns pontos fáceis:
- Temos
e . Como é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um tal que . - Juntando com o passo anterior (unicidade), concluímos que existe exatamente uma raiz real, e ela está no intervalo
.
Passo 4
Aproximar numericamente a raiz (explicar método prático que dá um valor utilizável na prova).
- Método sugerido: bisseção (confiável e simples). Começamos com o intervalo
onde e . - Para avaliar
em pontos intermediários podemos usar a série de Taylor centrada em (válida para ):
e truncar nos primeiros termos para uma boa aproximação quando
não é grande (a convergência é razoável para
). Vou usar termos até
para as avaliações, o que já dá precisão suficiente para algumas casas decimais.
- Iteração 1: ponto médio
. - Calcular
pela série: .
- Calcular
- Então
- Conclusão: raiz está em
. - Iteração 2: ponto médio do novo intervalo
. - Uma avaliação rápida dá
(pela série ou tabela), então - Conclusão: raiz está em
.
- Uma avaliação rápida dá
- Iteração 3: ponto médio
. - Aproximação pela série:
(truncando termos). Então - Conclusão: raiz está em
.
- Aproximação pela série:
- Iteração 4: ponto médio
. -
(pela série), então - Conclusão: raiz está em
.
-
- Iteração 5: ponto médio
. -
, então - Conclusão: raiz está em
.
-
- Iteração 6: ponto médio
. -
, então - Conclusão: raiz está em
.
-
- Iteração 7: ponto médio
. -
, então - Conclusão: raiz está em
.
-
- Iteração 8: ponto médio
. - Avaliações mais precisas (usando a série com atenção) dão
- Observação: já estamos muito próximos de zero (ordem
).
- Avaliações mais precisas (usando a série com atenção) dão
- Usando interpolação linear entre valores próximos obtidos nas iterações finais (ou mais iterações de bisseção) obtém-se uma aproximação com mais casas decimais. A interpolação entre
com ligeiramente negativo e com ligeiramente positivo dá a raiz aproximada com precisão em torno de suficiente para a maioria das provas.
Passo 5
Resumo dos resultados (o que foi provado e por que vale para a prova):
- Pela derivada vimos que
para todo , logo é estritamente crescente e pode ter no máximo uma raiz. - Pelo Teorema do Valor Intermediário e avaliação em
e vimos que existe uma raiz em . - Com o método da bisseção aproximamos essa raiz e encontramos
- Portanto existe exatamente um zero real de
, localizado em e com aproximação numérica dada acima.
Resposta
Existe um único zero real:
.