Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- localizar e classificar os pontos críticos (ou seja, encontrar todos os pontos
onde o gradiente é nulo e dizer se cada um é mínimo, máximo ou sela); - dizer se
possui extremo absoluto em seu domínio.
Informações relevantes já explícitas:
- O domínio é todo o plano
(polinômio definido para todos ). - A função tem termos em
e que geram uma dependência até de grau 3 (por exemplo o termo ), então a topologia pode ser não-trivial.
Passo 2
O primeiro passo para achar pontos críticos é calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente) e igualá-las a zero.
Definição usada: para uma função
, o gradiente é o par
. Pontos críticos satisfazem
Calculemos as derivadas:
Derivando termo a termo (lembrando que
é tratado como constante ao derivar em
):
Agora
:
Derivando termo a termo (agora
é constante):
Portanto o sistema para pontos críticos é
Passo 3
Resolvendo o primeiro equacionamento:
logo as possibilidades são
ou
.
Para cada caso substituímos na segunda equação
. Vamos isolar
nessa equação antes: fatorando em
,
logo, se
,
Como
ou
não anulam
(pois
e
), podemos usar essa fórmula sem problema.
- Para
:
Obtemos o ponto crítico
.
- Para
:
Obtemos o ponto crítico
.
Conclusão: existem exatamente dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos usando as derivadas segundas (a matriz Hessiana) e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis.
Lembrete (ferramenta que vou usar): para
calcule
Defina o discriminante
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas a partir das primeiras:
Já tínhamos e
.
Já tínhamos
Derivando:
porque
não depende de
.
Portanto o discriminante é
Observação:
para todo
, então
sempre; e
salvo quando
(isto é,
), caso em que
.
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
- Em
: , logo e
Pelo teste, quando
o ponto é um ponto de sela.
- Em
: , então e
Novamente
, então é também um ponto de sela.
Conclusão: ambos os pontos críticos
e
são pontos de sela (não são mínimos nem máximos locais).
Passo 5
Por fim, determinar se existe extremo absoluto no domínio inteiro
.
Uma forma prática é reescrever
como função linear em
(para cada
):
Definimos
. Então para cada
fixo,
Observações importantes:
- Se
, a função é linear não-constante em , portanto tende a quando ou a quando , dependendo do sinal de . Logo, para esses valores de , a imagem de é não limitada em pelo menos um dos sentidos. - Se
, isto é ou , então é constante em e vale para todo .
Agora, para decidir sobre extremos absolutos, basta notar que existem valores de
com
(por exemplo
dá
) e valores com
(por exemplo
dá
). Assim:
- Para algum
com , fazendo obtemos . Então não existe máximo absoluto. - Para algum
com , fazendo obtemos . Então não existe mínimo absoluto.
Portanto a função não tem extremo absoluto no domínio
.
Como remark: mesmo que haja valores constantes alcançados (por exemplo
e
), esses valores não são extremos absolutos porque
atinge arbitrariamente grandes valores positivos e negativos em outras direções.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Classificação: ambos são pontos de sela (nenhum é mínimo nem máximo local).
Extremo absoluto: a função não possui extremo absoluto no domínio .
Classificação: ambos são pontos de sela (nenhum é mínimo nem máximo local).
Extremo absoluto: a função não possui extremo absoluto no domínio