Questão 1
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respondida
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Dada a função f(z)=z^{2}+(2-3 i) z+1, com z=x+y i. Escreva f(z) na forma u(x, y)+i v(x, y) e determine, justificando, se f(z) é uma função contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(z)=z^{2}+(2-3 i)z+1\, e a informação z=x+y i. Ele pede duas coisas:
  • Escrever f(z) na forma \,u(x,y)+i\,v(x,y)\,, isto é, identificar explicitamente as partes real e imaginária como funções de x e y.
  • Determinar, com justificativa, se f(z) é contínua (e onde).
Informações relevantes que já temos: a variável complexa é escrita como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Vamos desenvolver \,z^{2} substituindo \,z=x+iy\, e usando \,i^{2}=-1\,.
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2i x y+(i y)^{2}=x^{2}+2i x y+i^{2}y^{2}=x^{2}-y^{2}+2i x y.
Aqui cada termo foi obtido expandindo o quadrado e lembrando que \,i^{2}=-1. Assim a parte real de \,z^{2} é \,x^{2}-y^{2}\, e a parte imaginária é \,2xy.

Passo 3

Agora multiplicamos \,(2-3i)z. Faça termo a termo:
(2-3i)(x+iy)=2x+2i y-3i x-3i^{2}y.
Como \,i^{2}=-1, o último termo -3i^{2}y vira +3y. Agrupando parte real e imaginária:
(2-3i)z=(2x+3y)+i(2y-3x).
Logo a parte real desse produto é \,2x+3y\, e a parte imaginária é \,2y-3x\,.

Passo 4

Somamos tudo e acrescentamos o constante +1. Juntando as partes reais e as partes imaginárias:
Parte real total:
u(x,y)=\underbrace{x^{2}-y^{2}}_{\text{de }z^{2}}+\underbrace{2x+3y}_{\text{de }(2-3i)z}+\underbrace{1}_{\text{constante}} = x^{2}-y^{2}+2x+3y+1.
Parte imaginária total:
v(x,y)=\underbrace{2xy}_{\text{de }z^{2}}+\underbrace{(2y-3x)}_{\text{de }(2-3i)z} =2xy+2y-3x.
Portanto escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
com u e v dadas acima. Aqui u,v:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} são funções que dão, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de f quando z=x+iy.

Passo 5

Agora a continuidade. Vou explicar o critério que vamos usar e por que ele vale.
Definição prática: uma função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é contínua num ponto z_{0} se, quando z\to z_{0}, temos f(z)\to f(z_{0}). Identificando \mathbb{C} com \mathbb{R}^{2} via z=x+iy, isso é equivalente a exigir que as duas componentes reais u(x,y) e v(x,y) sejam contínuas em \mathbb{R}^{2}. Ou seja, f é contínua em todo ponto se e somente se u e v são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
Fato usado (com explicação breve): funções polinomiais em variáveis reais são contínuas porque x\mapsto x, multiplicação e soma são operações contínuas e composições/somas/produtos de funções contínuas são contínuos. Cada termo de u e v é um monômio do tipo x^{2}, y^{2}, xy, x, y ou constante — todos contínuos. Logo somas desses termos (com coeficientes reais) são contínuas.

Passo 6

Aplicando o fato ao nosso caso: u(x,y)=x^{2}-y^{2}+2x+3y+1 é um polinômio em (x,y), portanto u é contínua em \mathbb{R}^{2}. Do mesmo modo v(x,y)=2xy+2y-3x é um polinômio em (x,y), logo v é contínua em \mathbb{R}^{2}.
Como ambas as componentes são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é contínua em todo \mathbb{C}.

Resposta

f(z)=\bigl(x^{2}-y^{2}+2x+3y+1\bigr)+i\bigl(2xy+2y-3x\bigr)
f é contínua em todo \mathbb{C}.

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