Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função posição
. Determine
, sabendo que:
Passo 1
O enunciado dá uma equação para a derivada de
em função de
e uma condição inicial. Dados e pedido:
- Equação:
válida para . - Condição inicial:
.
O que se pede: determinar a funçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. Observação importante: a expressão não está definida em , portanto a solução será construída para (e podemos depois discutir comportamento quando ).
Passo 2
Estratégia básica (sem enunciar o nome da matéria): a equação relaciona a derivada de
com uma função explícita de
. Para recuperar
devemos “integrar” a função dada para a derivada. Lembrete prático de integração que vamos usar:
- Regra para potência: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui temos
, que é a potência com
.
Passo 3
Aplicando a integração à equação dada. Podemos escrever
Integrando ambos os lados (integração indefinida):
O lado esquerdo integra para
. No lado direito usamos a fórmula com
:
Portanto, a anti-derivada geral é
onde
é uma constante real a determinar pela condição inicial.
Passo 4
Determine a constante
usando a condição
. Substituindo
em
:
Pelo enunciado,
. Logo
Passo 5
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular:
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada
que confere com a equação dada. Sobre
: a função
e a solução encontrada não são definidas em
, por isso a solução é válida para
(o enunciado deu
, mas a fórmula da derivada impede incluir o ponto
).