Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função posição x=x(t), t \geq 0. Determine x=x(t), sabendo que:
\frac{d x}{d t}=\frac{1}{t^{2}}, \quad x(1)=1

Passo 1

O enunciado dá uma equação para a derivada de x em função de t e uma condição inicial. Dados e pedido:
  • Equação: \dfrac{d x}{d t}=\dfrac{1}{t^{2}} válida para t\ge 0.
  • Condição inicial: x(1)=1.
    O que se pede: determinar a função x=x(t) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. Observação importante: a expressão \dfrac{1}{t^{2}} não está definida em t=0, portanto a solução será construída para t>0 (e podemos depois discutir comportamento quando t\to 0^+).

Passo 2

Estratégia básica (sem enunciar o nome da matéria): a equação relaciona a derivada de x com uma função explícita de t. Para recuperar x(t) devemos “integrar” a função dada para a derivada. Lembrete prático de integração que vamos usar:
  • Regra para potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui temos t^{-2}, que é a potência com n=-2.

Passo 3

Aplicando a integração à equação dada. Podemos escrever
\frac{dx}{dt}=t^{-2}\quad\Longrightarrow\quad dx = t^{-2}\,dt.
Integrando ambos os lados (integração indefinida):
\int dx = \int t^{-2}\,dt.
O lado esquerdo integra para x(t). No lado direito usamos a fórmula com n=-2:
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-1}}{-1} + C = -t^{-1} + C.
Portanto, a anti-derivada geral é
x(t) = -\frac{1}{t} + C,
onde C é uma constante real a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Determine a constante C usando a condição x(1)=1. Substituindo t=1 em x(t):
x(1) = -\frac{1}{1} + C = -1 + C.
Pelo enunciado, x(1)=1. Logo
-1 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Passo 5

Substituindo C=2 na expressão geral obtemos a solução particular:
x(t) = 2 - \frac{1}{t},\qquad t>0.
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada
\frac{d}{dt}\!\left(2 - \frac{1}{t}\right) = 0 + \frac{1}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}},
que confere com a equação dada. Sobre t=0: a função \dfrac{1}{t^{2}} e a solução encontrada não são definidas em t=0, por isso a solução é válida para t>0 (o enunciado deu t\ge 0, mas a fórmula da derivada impede incluir o ponto t=0).

Resposta

x(t)=2-\dfrac{1}{t},\\ t>0

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