Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
f(x, y)=y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver) da função f(x,y)=y\sin x.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y\sin x.
  • O domínio natural é todo o plano: (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O que se pede: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (componentes do gradiente). Lembre-se: ao derivar em relação a x trata-se y como constante; ao derivar em relação a y trata-se x como constante.
f(x,y)=y\sin x
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cos x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\sin x.
Ponto crítico é onde o gradiente se anula, ou seja, solução do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Então resolvemos
y\cos x = 0,\qquad \sin x = 0.
Da segunda equação \sin x=0 obtemos
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo em y\cos x=0: como \cos(k\pi)=(-1)^k\neq 0, fica
y\cdot (-1)^k = 0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto os pontos críticos são exatamente
(x,y)=(k\pi,0),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora vamos classificar esses pontos. Usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana (teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis).
Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y\sin x, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \cos x.
O determinante da Hessiana (às vezes chamado de D) em um ponto é
D = f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^2.
Substituindo:
D = (-y\sin x)\cdot 0 - (\cos x)^2 = -\cos^2 x.
Avaliar em um ponto crítico (k\pi,0): \cos(k\pi)=(-1)^k então \cos^2(k\pi)=1. Portanto em qualquer ponto crítico
D = -1 < 0.
Lembrete do critério:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 → mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 → máximo relativo.
  • Se D<0 → ponto de sela.
  • Se D=0 → inconclusivo.
Aqui em todos os pontos críticos temos D<0, então todos são pontos de sela. Logo não existem máximos nem mínimos relativos.

Passo 4

Para entender intuitivamente por que são pontos de sela, faço uma verificação por trajetórias próximas. Vou examinar o ponto (0,0) (caso k=0) e depois generalizo para k qualquer.
Para (0,0): para x e y pequenos,
f(x,y)=y\sin x \approx y\cdot x
(usando \sin x\approx x para x pequeno). Se escolho a linha y=x então f(x,x)\approx x^2>0 para x\neq 0 pequeno; se escolho y=-x então f(x,-x)\approx -x^2<0. Ou seja, arbitrariamente perto de (0,0) há pontos onde f é positiva e pontos onde f é negativa — comportamento típico de sela.
No ponto geral (k\pi,0) escrevo x=k\pi+u com u pequeno e y=v pequeno. Então
f(k\pi+u,v)=v\sin(k\pi+u)=v(-1)^k\sin u\approx v(-1)^k u.
Escolhendo v=u obtém-se f\approx (-1)^k u^2 (positivo para pequenos u de sinal adequado) e escolhendo v=-u obtém-se f\approx -(-1)^k u^2 (negativo). Assim em todo (k\pi,0) há vizinhanças com valores de sinais opostos — novamente selo.

Passo 5

Conclusão final e resposta bem direta: todos os pontos críticos já encontrados são pontos de sela; não há máximos nem mínimos relativos.

Resposta

Pontos críticos: (k\pi,0), com k\in\mathbb{Z}.
Classificação: todos os pontos (k\pi,0) são pontos de sela; não existem máximos relativos nem mínimos relativos.

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