Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
Passo 1
O enunciado pede para localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver) da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio natural é todo o plano:
. - O que se pede: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (componentes do gradiente). Lembre-se: ao derivar em relação a
trata-se
como constante; ao derivar em relação a
trata-se
como constante.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ponto crítico é onde o gradiente se anula, ou seja, solução do sistema
Então resolvemos
Da segunda equação
obtemos
Substituindo em
: como
, fica
Portanto os pontos críticos são exatamente
Passo 3
Agora vamos classificar esses pontos. Usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana (teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis).
Calcule as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana (às vezes chamado de
) em um ponto é
Substituindo:
Avaliar em um ponto crítico
:
então
. Portanto em qualquer ponto crítico
Lembrete do critério:
- Se
e → mínimo relativo. - Se
e → máximo relativo. - Se
→ ponto de sela. - Se
→ inconclusivo.
Aqui em todos os pontos críticos temos
, então todos são pontos de sela. Logo não existem máximos nem mínimos relativos.
Passo 4
Para entender intuitivamente por que são pontos de sela, faço uma verificação por trajetórias próximas. Vou examinar o ponto
(caso
) e depois generalizo para
qualquer.
Para
: para
e
pequenos,
(usando
para
pequeno). Se escolho a linha
então
para
pequeno; se escolho
então
. Ou seja, arbitrariamente perto de
há pontos onde
é positiva e pontos onde
é negativa — comportamento típico de sela.
No ponto geral
escrevo
com
pequeno e
pequeno. Então
Escolhendo
obtém-se
(positivo para pequenos
de sinal adequado) e escolhendo
obtém-se
(negativo). Assim em todo
há vizinhanças com valores de sinais opostos — novamente selo.
Passo 5
Conclusão final e resposta bem direta: todos os pontos críticos já encontrados são pontos de sela; não há máximos nem mínimos relativos.
Resposta
Pontos críticos:
, com
.
Classificação: todos os pontos são pontos de sela; não existem máximos relativos nem mínimos relativos.
Classificação: todos os pontos