Considere a função
e determine, caso houver:
(a) (0,3 pontos) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica);
(b)
Assíntotas;
(c) (1,2 pontos) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais);
(d) (1,5 ponto) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(e)
pontos) Esboço do gráfico.
(a) (0,3 pontos) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica);
(b)
(c) (1,2 pontos) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais);
(d) (1,5 ponto) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede cinco coisas separadas:
(a) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica).
(b) Assíntotas.
(c) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais).
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(e) Esboço do gráfico.
(a) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica).
(b) Assíntotas.
(c) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais).
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(e) Esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
no denominador. - O numerador é constante igual a
.
Vou usar essas informações para determinar domínio, comportamento nas bordas do domínio, derivadas para monotonia e concavidade, e então montar o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio e as interseções com os eixos (aulas rápidas sobre domínio e interceptos).
- Regra para domínio: dentro da raiz quadrada o argumento deve ser não negativo. Além disso, como a raiz está no denominador, não é permitido que a raiz seja zero (denominador não pode ser zero). Portanto exige-se
A condição
dá
. Mas a exigência de denominador não nulo elimina os pontos em que
, isto é
. Conclui-se:
- Interseção com o eixo
(avaliar em ): calcular
Logo a interseção com o eixo
é o ponto
.
-
Interseções com o eixo
: resolver . Como o numerador é e o denominador é finito (no domínio), nunca é zero. Logo não há interseções com o eixo . -
Simetrias (rápida regra): checar
e comparar com :
Portanto
é função par (simetria axial em relação ao eixo
). Não é ímpar. Não existe periodicidade aparente (a função não repete valores em intervalos fixos), logo não é periódica.
Passo 3
Assíntotas (definição e aplicação).
- Vertical: uma reta
é assíntota vertical se quando tende a dentro do domínio a função tende a . Aqui os candidatos são os extremos do domínio (pontos onde a expressão fica indefinida porque o denominador tende a zero). Vamos estudar os limites laterais:
Calcular
. Para
temos
, então
e portanto
Analogamente para
(aproximação vindo pela direita de
),
e
Conclui-se que
e
são assíntotas verticais.
- Horizontais/oblíquas: como o domínio não se estende a
(é apenas ), não há limites a considerar, logo não existem assíntotas horizontais ou oblíquas no sentido usual. Portanto as únicas assíntotas são verticais em .
Passo 4
Derivada primeira: encontrar pontos críticos e estudar monotonicidade (aula curta sobre derivação, cadeia e sinais).
Escrever
. Usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
.
Calculemos
:
Simplificando os fatores
e
:
logo
-
Pontos críticos: pontos do domínio onde
ou não existe. No domínio o denominador é >0, então existe em todo o domínio. Assim as soluções de são dadas por . Então o único ponto crítico é (que está no domínio). -
Estudo do sinal de
para monotonicidade: o denominador é sempre positivo em , então o sinal de é o sinal de (pois o fator não altera o sinal). Assim: - Para
temos : é decrescente em . - Para
temos : é crescente em .
- Para
-
Classificação do extremo em
: como a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita) em , é um mínimo local. Além disso, observando os limites nas bordas que vão para , esse mínimo é global no domínio. O valor mínimo é
portanto o ponto
é mínimo relativo e também mínimo absoluto (global) no domínio.
Passo 5
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão (aula sobre segunda derivada e interpretação).
Partimos de
Usamos regra do produto: se
e
, então
.
-
. - Para
aplicamos a regra da cadeia: tem derivada
Então
Colocar em fator comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto
-
Sinal de
: no domínio o denominador . O numerador é estritamente positivo para todo (porque ). Logo para todo . -
Consequência: a função é côncava para cima em todo o domínio
. Como nunca se torna zero nem muda de sinal dentro do domínio, não há pontos de inflexão em .
Passo 6
Resumo qualitativo e pontos notáveis para o esboço do gráfico (como desenhar na prova).
Características já encontradas e úteis para o desenho:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e (a função tende a quando se aproxima dessas retas pelo interior do domínio). - Simetria: função par (simetria em relação ao eixo
), então basta desenhar para e espelhar. - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em . - Extremo: mínimo global em
com . - Concavidade: côncava para cima em todo o domínio (sem pontos de inflexão).
- Alguns pontos de referência para o desenho (pegar valores fáceis):
-
. -
. -
(opcional) por exemplo : .
-
Como desenhar: traçar as retas verticais
e
como assíntotas, colocar o mínimo em
, verificar que ao aproximar de
a curva sobe sem limite e que a curvatura é voltada para cima em todo o intervalo. Por simetria, os ramos à esquerda e à direita são idênticos.
Passo 7
Observações finais de verificação e encorajamento breve (motivação pequena).
Tudo conferado: derivadas, sinais e limites consistentes entre si (mínimo em , crescimento para a direita, e subida para
nas bordas). Estudando dessa forma passo a passo dá pra reproduzir o esboço na prova com confiança — lembra de marcar domínio e assíntotas antes de desenhar.
Tudo conferado: derivadas, sinais e limites consistentes entre si (mínimo em
Resposta
(a) Domínio:
. Interseção com o eixo
:
. Não há interseções com o eixo
. Simetria:
é par (simetria em relação ao eixo
); não é ímpar nem periódica.
(b) Assíntotas: assíntotas verticais em e
. Sem assíntotas horizontais ou oblíquas (domínio finito).
(c) Pontos críticos: (único ponto crítico). Intervalos de crescimento:
. Intervalos de decrescimento:
. Extremo: mínimo global em
com valor
.
(d) Concavidade: para todo
, logo a função é côncava para cima em todo o domínio. Pontos de inflexão: nenhum em
.
(e) Esboço: curva simétrica em relação ao eixo , com mínimo em
, decrescente até
e crescente depois, côncava para cima em todo o intervalo; aproxima
quando
ou
(assíntotas verticais em
).
(b) Assíntotas: assíntotas verticais em
(c) Pontos críticos:
(d) Concavidade:
(e) Esboço: curva simétrica em relação ao eixo