Considere a função
f(x)=\frac{4}{\sqrt{4-x^{2}}}
e determine, caso houver:
(a) (0,3 pontos) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica);
(b) (0,5) Assíntotas;
(c) (1,2 pontos) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais);
(d) (1,5 ponto) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(e) (1,5 pontos) Esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4}{\sqrt{4-x^{2}}}
e pede cinco coisas separadas:
(a) Domínio, interseções com os eixos e simetrias (par, ímpar, periódica).
(b) Assíntotas.
(c) Pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos (e/ou globais).
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(e) Esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}} no denominador.
  • O numerador é constante igual a 4.
Vou usar essas informações para determinar domínio, comportamento nas bordas do domínio, derivadas para monotonia e concavidade, e então montar o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio e as interseções com os eixos (aulas rápidas sobre domínio e interceptos).
  • Regra para domínio: dentro da raiz quadrada o argumento deve ser não negativo. Além disso, como a raiz está no denominador, não é permitido que a raiz seja zero (denominador não pode ser zero). Portanto exige-se
4-x^{2}\ge 0\quad\text{e}\quad \sqrt{4-x^{2}}\neq 0.
A condição 4-x^{2}\ge 0 -2\le x\le 2. Mas a exigência de denominador não nulo elimina os pontos em que 4-x^{2}=0, isto é x=\pm 2. Conclui-se:
\text{Domínio}=\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x<2\}=(-2,2).í
  • Interseção com o eixo y (avaliar em x=0): calcular
f(0)=\frac{4}{\sqrt{4-0^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2.
Logo a interseção com o eixo y é o ponto (0,2).
  • Interseções com o eixo x: resolver f(x)=0. Como o numerador é 4\neq 0 e o denominador é finito (no domínio), f(x) nunca é zero. Logo não há interseções com o eixo x.
  • Simetrias (rápida regra): checar f(-x) e comparar com f(x):
f(-x)=\frac{4}{\sqrt{4-(-x)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{4-x^{2}}}=f(x).
Portanto f é função par (simetria axial em relação ao eixo y). Não é ímpar. Não existe periodicidade aparente (a função não repete valores em intervalos fixos), logo não é periódica.

Passo 3

Assíntotas (definição e aplicação).
  • Vertical: uma reta x=a é assíntota vertical se quando x tende a a dentro do domínio a função tende a \pm\infty. Aqui os candidatos são os extremos do domínio x=\pm 2 (pontos onde a expressão fica indefinida porque o denominador tende a zero). Vamos estudar os limites laterais:
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x). Para x\to 2^- temos 4-x^2\to 0^+, então \sqrt{4-x^2}\to 0^+ e portanto
\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{4}{\sqrt{4-x^{2}}}=+\infty.
Analogamente para x\to -2^+ (aproximação vindo pela direita de -2), 4-x^{2}\to 0^+ e
\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty.
Conclui-se que x=2 e x=-2 são assíntotas verticais.
  • Horizontais/oblíquas: como o domínio não se estende a \pm\infty (é apenas (-2,2)), não há limites x\to\pm\infty a considerar, logo não existem assíntotas horizontais ou oblíquas no sentido usual. Portanto as únicas assíntotas são verticais em x=\pm 2.

Passo 4

Derivada primeira: encontrar pontos críticos e estudar monotonicidade (aula curta sobre derivação, cadeia e sinais).
Escrever \displaystyle f(x)=4(4-x^{2})^{-1/2}. Usamos a regra da cadeia: se g(x)=(4-x^{2})^{\alpha} então g'(x)=\alpha(4-x^{2})^{\alpha-1}\cdot (4-x^{2})'. Aqui (4-x^{2})'=-2x.
Calculemos f'(x):
f'(x)=4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(4-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x).
Simplificando os fatores -\tfrac{1}{2} e -2x:
\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-2x)=x,
logo
f'(x)=4x(4-x^{2})^{-3/2}=\frac{4x}{(4-x^{2})^{3/2}}.
  • Pontos críticos: pontos do domínio onde f'(x)=0 ou f' não existe. No domínio (-2,2) o denominador (4-x^{2})^{3/2} é >0, então f' existe em todo o domínio. Assim as soluções de f'(x)=0 são dadas por 4x=0\Rightarrow x=0. Então o único ponto crítico é x=0 (que está no domínio).
  • Estudo do sinal de f' para monotonicidade: o denominador é sempre positivo em (-2,2), então o sinal de f'(x) é o sinal de x (pois o fator 4>0 não altera o sinal). Assim:
    • Para x\in(-2,0) temos x<0\Rightarrow f'(x)<0: f é decrescente em (-2,0).
    • Para x\in(0,2) temos x>0\Rightarrow f'(x)>0: f é crescente em (0,2).
  • Classificação do extremo em x=0: como a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita) em x=0, x=0 é um mínimo local. Além disso, observando os limites nas bordas que vão para +\infty, esse mínimo é global no domínio. O valor mínimo é
f(0)=2,
portanto o ponto (0,2) é mínimo relativo e também mínimo absoluto (global) no domínio.

Passo 5

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão (aula sobre segunda derivada e interpretação).
Partimos de
f'(x)=4x(4-x^{2})^{-3/2}.
Usamos regra do produto: se u(x)=4x e v(x)=(4-x^{2})^{-3/2}, então f''=u'v+uv'.
  • u'(x)=4.
  • Para v'(x) aplicamos a regra da cadeia: v(x)=(4-x^{2})^{-3/2} tem derivada
v'(x)=-\frac{3}{2}(4-x^{2})^{-5/2}\cdot(-2x)=3x(4-x^{2})^{-5/2}.
Então
f''(x)=4\cdot(4-x^{2})^{-3/2}+4x\cdot 3x(4-x^{2})^{-5/2}.
Colocar em fator comum (4-x^{2})^{-5/2}:
f''(x)=\bigl[4(4-x^{2})+12x^{2}\bigr](4-x^{2})^{-5/2}.
Simplificando o numerador:
4(4-x^{2})+12x^{2}=16-4x^{2}+12x^{2}=16+8x^{2}=8(2+x^{2}).
Portanto
f''(x)=\frac{8(2+x^{2})}{(4-x^{2})^{5/2}}.
  • Sinal de f''(x): no domínio (-2,2) o denominador (4-x^{2})^{5/2}>0. O numerador 8(2+x^{2}) é estritamente positivo para todo x (porque 2+x^{2}\ge 2>0). Logo f''(x)>0 para todo x\in(-2,2).
  • Consequência: a função é côncava para cima em todo o domínio (-2,2). Como f''(x) nunca se torna zero nem muda de sinal dentro do domínio, não há pontos de inflexão em (-2,2).

Passo 6

Resumo qualitativo e pontos notáveis para o esboço do gráfico (como desenhar na prova).
Características já encontradas e úteis para o desenho:
  • Domínio: (-2,2).
  • Assíntotas verticais: x=-2 e x=2 (a função tende a +\infty quando x se aproxima dessas retas pelo interior do domínio).
  • Simetria: função par (simetria em relação ao eixo y), então basta desenhar para x\ge 0 e espelhar.
  • Monotonicidade: decrescente em (-2,0), crescente em (0,2).
  • Extremo: mínimo global em x=0 com f(0)=2.
  • Concavidade: côncava para cima em todo o domínio (sem pontos de inflexão).
  • Alguns pontos de referência para o desenho (pegar valores fáceis):
    • f(0)=2.
    • f(1)=\dfrac{4}{\sqrt{4-1}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\approx 2{,}309.
    • f\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{1}\bigr)= (opcional) por exemplo x=\sqrt{2}\approx 1{,}414: f(\sqrt{2})=\dfrac{4}{\sqrt{4-2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=4/\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828.
Como desenhar: traçar as retas verticais x=-2 e x=2 como assíntotas, colocar o mínimo em (0,2), verificar que ao aproximar de x=\pm 2 a curva sobe sem limite e que a curvatura é voltada para cima em todo o intervalo. Por simetria, os ramos à esquerda e à direita são idênticos.

Passo 7

Observações finais de verificação e encorajamento breve (motivação pequena).
Tudo conferado: derivadas, sinais e limites consistentes entre si (mínimo em 0, crescimento para a direita, e subida para +\infty nas bordas). Estudando dessa forma passo a passo dá pra reproduzir o esboço na prova com confiança — lembra de marcar domínio e assíntotas antes de desenhar.

Resposta

(a) Domínio: (-2,2). Interseção com o eixo y: (0,2). Não há interseções com o eixo x. Simetria: f é par (simetria em relação ao eixo y); não é ímpar nem periódica.
(b) Assíntotas: assíntotas verticais em x=-2 e x=2. Sem assíntotas horizontais ou oblíquas (domínio finito).
(c) Pontos críticos: x=0 (único ponto crítico). Intervalos de crescimento: (0,2). Intervalos de decrescimento: (-2,0). Extremo: mínimo global em (0,2) com valor f(0)=2.
(d) Concavidade: f''(x)=\dfrac{8(2+x^{2})}{(4-x^{2})^{5/2}}>0 para todo x\in(-2,2), logo a função é côncava para cima em todo o domínio. Pontos de inflexão: nenhum em (-2,2).
(e) Esboço: curva simétrica em relação ao eixo y, com mínimo em (0,2), decrescente até x=0 e crescente depois, côncava para cima em todo o intervalo; aproxima +\infty quando x\to-2^{+} ou x\to2^{-} (assíntotas verticais em x=\pm2).

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